弦论小女孩告诉你什么是度规

作者: 周思益 | 来源:发表于2020-05-22 17:20 被阅读0次

欢迎你来到弦论的世界！想象你缩小缩小再缩小。现在你只有 $10^{-30} cm$ 了。你进入了弦论世界！你现在有了一个老师喔。她也是你在弦论世界的导游。她名字叫弦论小女孩。

现在你和你的老师在这样一个盒子里面。但这个盒子非常非常大。这个盒子有没有边界都不重要喔。重要的是你和你的老师周围的空间都没有弯曲。用人类的语言说，这种现象叫“我们正处在欧几里德时空里面”。

3DMinkowski.PNG

我们用公式把这个现象抽象出来成这样
$ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2$
你的前后用坐标 $x$ 描述，你的左右用 $y$ 描述，你的上下用 $z$ 描述。现在请准备好，我们要去看看四维空间长什么样子了喔。首先你想象你把自己压扁，成了一个二维的漫画人。然后呢，看下面的图吧。你在坐标轴上再加个时间的坐标。

3dlorentz.PNG

这个实际上是三维的闵可夫斯基时空。人们用下面的公式来描述。

$ds^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2$

这里c的意思是光速。一般我们都把光速设为1.也就是自然单位制。在弦论世界里面，所有东西运动都非常快。在人类世界的语言里面，就是光速是 $3\times 10^8$ 米每秒。如果你用那个去描述我们的速度。那你会很累的喔。所以我们的做法是把我们的速度都跟我们这个世界里面跑得最快的动物比较。比如有一个小动物跑步速度是 $1\times 10^{8}$ 米每秒。我们就说它的速度是 $1/3$ 。意思是它的速度是最快的小动物的1/3。所以啊，在弦论世界的语言里面，你可以省略这个 $c$ 。当然如果你想解释给人类听的时候，就把这个 $c$ 给加上喔。
$ds^2 = -dt^2+ dx^2+dy^2$
看你现在变得多聪明了！现在想象你又是一个三维的人了。你和你的老师弦论小女孩都是的。再套到前面那张图上面，你就可以理解四维的闵可夫斯基度规啦
$ds^2 = -dt^2 +dx^2 +dy^2 +dz^2$
看你这个多懒的小女孩。才写几个公式就累趴下啦。没关系。我教你偷懒的办法。你先把这些字母用下面的规则给换掉
$t\rightarrow x^0,\quad x\rightarrow x^1,\quad y\rightarrow x^2,\quad z\rightarrow x^3$
然后你就把你的公式写成下面这种形式
$ds^2 = \sum_{\mu\nu=0}^{3} g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\mu}$
这些 $g_{\mu\nu}$ 就是一些0，+1或者-1这些数。

很久以前一个人类的伟大理论物理学家爱因斯坦也跟你一样爱偷懒。他甚至这个求和符号也懒的写，于是度规就变成这样啦
$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^{\nu}$
不过这个给了我们弦论世界的弦论小女孩老师带来了很多方便。我们都觉得这个是他最伟大的贡献之一。以后我们向人类解释啥是弦论的时候。就不用打这么多求和符号啦。

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