跳表【转载】
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跳表 = 链表 + 多级索引
跳表使用空间换时间的设计思路,通过构造多级索引来提高查询的效率,实现了基于链表的 二分查找。跳表是一种动态数据结构,支持快读的插入,删除,查找操作,时间复杂度都是 O(lng)
跳表跳表的空间复杂是 O(n)。跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。跳表的代码比起红黑树来说,要简单,易读。
链表加多级索引的结构,就是跳表
对于一个单链表,即便链表中存储的数据是有序的,如果要查询某个数据,也只能从头到尾遍历,时间复杂度 O(n)
image对于链表建立一级索引,没两个结点提取一个结点到上一级,把抽出来的那一级叫做索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针,指向下一级结点
image这样就可以先在索引层遍历,然后通过索引层结点的 down指针,下降到原始链表这一层,继续遍历
比如要查找16,当在索引层遍历到13时,发现索引层下一个节点是17大于目标16,则可从13的down指针下降到原始链表继续遍历。这样只需要再遍历2个结点,就可以找到值等于16的这个结点了。原来查找16,需要遍历10个结点,加入一层索引后只需要遍历7个结点
加上一层索引之后,查找一个结点需要遍历的结点减少了,查找的效率提高了。继续加再加一级索引,在第一级索引的基础之上,每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在再查找16,只需要遍历6个结点了,需要遍历的结点树又减少了。
image下图是一个包含64个结点的链表,建立五级索引
image在五级索引的作用下,查找62只需要遍历11个结点。当链表的长度n比较大时,比如1000,10000的时候,在构建多级索引之后,查找效率的提升就会非常明显。
跳表的时间复杂度
一个链表里有n个结点,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一个索引的结点个数大约就是 n / 2 ,第二个索引的结点个数大约就是 n / 4,第三个索引的结点个数大约就是 n / 8。以此类推,也就是说,第K级索引的结点个数就是第 k - 1 级索引的结点个数的 1 / 2,那第 k 级索引结点的个数就是 n / (2 ^ k)
假设索引有 h 级,最高级的索引有2个几点,则 n(2^h) = 2,即 h = logn -1。加上原始链表这一层,整个跳表的高度就是 logn。在跳表中查询某个数据的额时候,如果每一层都要遍历m个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m * logn)
按照每两个结点提取一个节点到上一级建立索引这种数据结构,每一级索引都最多只需要遍历3个结点,那么m = 3
假设要查找的数据是x,在第k级索引中遍历到y结点之后,发现x大于y,小于后面的结点z,所以通过y的dom指针,从第k级索引下降到k-1级索引。在第k-1级索引中,y和z之间只有3个结点(包含y和z)所以在k-1级索引中最多只需要遍历3个结点,以此类推,每一级索引都最多只需要遍历3个结点。
image所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)
跳表的空间复杂度分析
假设原始链表大小为n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4个结点,以此类推,没上升一级就减少一半,直到剩下2个结点。每层索引的节点数为:
n / 2, n / 4, n / 8, ..., 8, 4, 2
这几级索引的结点总和就是 n / 2 + n / 4 + n / 8 + ... + 8 + 4 + 2 = n - 2。所以跳表的空间复杂度是O(n)
将包含n个结点的单链表构造成跳表,需要额外再接近n个结点的存储空间
如果每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引
image
那么第一级索引需要大约 n/3 个结点,第二级索引需要大约n / 9个结点。每往上一级,索引结点个数都除以3。为了方便计算,假设最高一级的索引结点个数是1。每3个结点抽一个,每层索引的结点数为:
n / 3, n / 9, n / 27, ..., 9, 3, 1
总的索引结点个数为n / 3 + n / 9 + n / 27 + ...+ 9 + 3 + 1 = n / 2。空间复杂度依然是O(n),但比每两个结点抽一个结点的索引构建方法,减少了一半的索引结点存储空间。
再实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。
跳表动态的插入和删除
跳表插入、删除操作的时间复杂度是O(logn)。
image对于删除操作,如果这个结点在索引中也有出现,删除原始链表中的结点之后还要删除对应的索引。
查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。(双向链表不需要考虑这个问题)
跳表索引动态更新
不停地往跳表中插入数据时,如果不更新索引,就有可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单向链表
image作为一种动态数据结构,需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡:
如果链表中的结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂退化,以及查找,插入,删除操作的性能下降。
往跳表中插入数据的时候,可以同时将这个数据插入到部分索引层中。通过一个随机函数,来决定将这个终结插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值k,就将这个结点添加到第一级到第k级索引中
imageRedis 用跳表实现有序集合
Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的,严格点说,其实还用了散列表。
Redis中的有序集合支持的核心操作主要有:
- 插入一个数据
- 删除一个数据
- 查找一个数据
- 按照区间查找数据;
- 迭代输出有序序列
其中,插入,删除,查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表一样的。但是,按区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高。
对于按区间查找数据这个操作,跳表可以做到O(logn)的时间复杂度定位区间的起点,然后再原始链表中顺序往后遍历就可以了,这样非常高效
跳表相对红黑树而言代码更容易实现,简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗
跳表的简易代码实现
public class SkipList {
private static final float SKIPLIST_P = 0.5f;
private static final int MAX_LEVEL = 16;
private int leveCount = 1;
private Node cls = new Node(); // 带头链表
public Node find(int value) {
Node p = cls;
for(int i = levelCount - 1; i >= 0; --i){
// 判断结点的值不为空 并且 遍历到的结点的值还未大于目标值
while(p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value){
p = p.forwards[i];
}
}
// 如果查到的值为目标值
if(p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
return p.forwards[0]; // 返回目标值
} else {
return null
}
}
// 插入
public void insert(int value) {
int level = randomLevel();
Node newNode = new Node();
newNode.data = value;
newNode.maxLevel = level;
Node update[] = new Node[level];
for(int i = 0; i < level; ++i){
update[i] = cls;
}
// record every level largest value which smaller than insert value in update[]
Node p = cls;
for(int i = level - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
update[i] = p;// use update save node in search path
}
// 搜索路径中的节点下一个节点成为新节点forwords(next)
for (int i = 0; i < level; ++i) {
newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
update[i].forwards[i] = newNode;
}
// update node hight
if (levelCount < level) levelCount = level;
}
// 删除
public void delete(int value) {
Node[] update = new Node[levelCount];
Node p = cls;
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
p = p.forwards[i];
}
update[i] = p;
}
if(p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value){
update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
}
}
}
while (levelCount>1&&cls.forwards[levelCount]==null) {
levelCount--;
}
}
// 理论来讲,一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%,二级索引中元素个数占 25%,三级索引12.5% ,一直到最顶层。
// 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点,都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。
// 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数,且 :
// 50%的概率返回 1
// 25%的概率返回 2
// 12.5%的概率返回 3 ...
private int randomLevel() {
int level = 1;
while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
level += 1;
return level;
}
public void printAll() {
Node p = cls;
while (p.forwards[0] != null) {
System.out.print(p.forwards[0] + " ");
p = p.forwards[0];
}
System.out.println();
}
public class Node {
private int date = -1;
private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL];
private int maxLevel = 0;
@Override
public String toString() {
StringBuilder builder = new StringBuilder();
builder.append("{ data: ");
builder.append(data);
builder.append("; levels: ");
builder.append(maxLevel);
builder.append(" }");
return builder.toString();
}
}
}
以上
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