三角函数及周期公式推导

△ABC

定义

以∠A为例 令α=∠A
①正弦函数：对边比斜边，即：sin α=a/c
②余弦函数：邻边比斜边，即：cos α=b/c
③正切函数：对边比邻边，即：tan α=a/b
④余割函数：斜边比对边，即：csc α=c/a
⑤正割函数：斜边比邻边，即：sec α=c/b
⑥余切函数：邻边比对边，即：cot α=b/a

由上可得以下公式：

倒数关系：

sin α * csc α = 1      证: a/c * c/a = 1
cos α * sec α = 1      证: b/c * c/b = 1
tan α * cot α = 1      证: a/b * b/a = 1

商数关系：

tan α = sin α/cos α     证: (a/c) / (b/c) = a/b

平方差关系：

sin² α + cos² α  = 1      证: (a/c)² + (b/c)² = (a²+b²)/c² = 1
1 + tan²α =  sec²α        证: b²/b² + a²/b² = (a²+b²)/b² = (c/b)² =  sec²α
1 + cot²α = csc ²α        证: a²/a² + b²/a² = (c/a)² = csc ²α

函数图像：

sin x

sin x

很显然，从图像上可以看出 sin x是一个奇函数，周期为2π，如果间隔半个周期π，则y值互为相反数。
所以我们能推导出以下公式：
sin（-α）= -sin α
sin（2kπ+α）= sin α
sin（π+α）= -sin α
sin（π-α）= sin α

cos x

cos x
很显然，从图像上可以看出 cos x是一个偶函数，周期为2π，如果间隔半个周期π，则y值互为相反数。
所以我们能推导出以下公式：
cos（-α）= cos α
cos（2kπ+α）= cos α
cos（π+α）= -cos α
cos（π-α）= -cos α

tan x

tan x
很显然，从图像上可以看出 tan x是一个奇函数，周期为π。
所以我们能推导出以下公式：
tan（-α）= -tan α
tan（kπ+α）= tan α
tan（π+α）= tan α
tan（π-α）= -tan α

公式说了这么多，其实不用都记住，你只要记住这几个函数图像怎么画，你就知道周期，你就知道谁是奇函数，谁是偶函数，那么这些公式就都能推出来了。当然，记住图像，你也就能看出增减区间，也就知道第几象限是正式负，就全都整明白了。

奇偶性：

sin 奇函数
cos 偶函数
tan 奇函数

互为倒数的函数奇偶性一样

csc 奇函数
sec 偶函数
cot 奇函数

接下来，我们把正弦余弦函数放在一起看看

sin & cos

你会发现：
①把sin x图像向左平移π/2个单位长度，就能得到cos x函数的图像。
②把cos x图像向右平移π/2个单位长度，正好与sin x关于x轴对称，也就是互为相反数。
那么你就能推导出以下公式：

sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα

当然，正切和余切的也一样，不管谁移动π/2后，都会关于x轴对称，也就是互为相反数。
上面这四个公式一定要记住，我们对其扩展，给π/2乘以常数项K（k∈Z）

sin(k·π/2+α)=？
cos(k·π/2+α)=？
tan(k·π/2+α)=？
cot(k·π/2+α)=？

记住口诀：奇变偶不变，符号看象限。
什么意思呢？奇偶指的是k是奇数还是偶数，变与不变，指结果sin是否要变cos，tan是否要变cot 。。。符号就是正负号，要看这个角在第几象限，α看做锐角。

符号看象限这里也有个口诀：全正切余
什么意思呢？全正切余分别对应一二三四象限。也就是说：
第一象限：全部为正
第二象限：正弦为正，其余都为负
第三象限：正切为正，其余都为负
第四象限：余弦为正，其余都为负

我们试试：
k=2，偶数，不变。2*π/2 = π+α 为第三象限角。

sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα

k=4，偶数，不变。4*π/2 = 2π+α 为第一象限角。

sin(2π+α) = sinα
cos(2π+α) = cosα
tan(2π+α) = tanα

k=3，奇数，变。3*π/2 = 3π/2+α 为第四象限角。

sin(3π/2+α) = -cosα
cos(3π/2+α) = sinα
tan(3π/2+α) = -cotα

是不是有些公式就是前面提到的，所以说：一定要记好这四个关于π/2的公式，以及口诀，其它的都可以从这里推导。

其它常用公式传送门：
和角公式与倍角公式：https://www.jianshu.com/p/7bd712b0303d
积化和差与和差化积：https://www.jianshu.com/p/5cd9d20fb590