LeetCode 第 69 题：使用牛顿法求解平方根

传送门：69. x 的平方根。

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

输入: 4
输出: 2

示例 2:

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

二分法

思路：使用二分查找，特别注意：应该返回右边端点。

Python 代码1：

class Solution:
    # 二分法
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        l = 0
        r = x // 2 + 1
        while l <= r:
            m = l + (r - l) // 2
            s = m * m
            if s == x:
                return m
            elif s < x:
                l = m + 1
            else:
                r = m - 1
        # 注意返回 l 和返回 r 的区别，应该返回 r
        # 【因为返回的是不超过，所要把右边界返回回去】
        return r

Python 代码2：

class Solution:
    # 二分法
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if x == 1:
            return 1
        l = 0
        r = x // 2
        while l <= r:
            m = l + (r - l) // 2
            s = m * m
            if s == x:
                return m
            elif s < x:
                l = m + 1
            else:
                r = m - 1
        return r

牛顿法

思路：使用牛顿法，推荐这种做法，更简单，返回值向下取整，就能符合题要求。

牛顿法的公式推导必须要会。

Python 代码：

class Solution:
    # 牛顿法
    # 与系统函数作比较

    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if x < 0:
            raise Exception('不能输入负数')
        if x == 0:
            return 0

        cur = 1
        while True:
            pre = cur
            cur = (cur + x / cur) / 2
            if abs(cur - pre) < 1e-6:
                return cur

    # 这个解提交到 LeetCode 上就可以了
    def mySqrt1(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if x < 0:
            raise Exception('不能输入负数')
        if x == 0:
            return 0
        # 起始的时候在 1 ，这可以比较随意设置
        cur = 1
        while True:
            pre = cur
            cur = (cur + x / cur) / 2
            if abs(cur - pre) < 1e-6:
                return int(cur)


if __name__ == '__main__':
    import numpy as np

    nums = np.linspace(0, 999, 100)
    solution = Solution()
    for num in nums:
        a = solution.mySqrt(num)
        b = np.sqrt(num)
        print("牛顿法：{} \t NumPy：{}\t 差距：{}".format(a, b, a - b))

下面是牛顿法的笔记：

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参考资料

牛顿法的应用之一：解方程，求开方。

马同学的《如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？》讲解了牛顿法迭代求高次方程的根的思路：
https://www.zhihu.com/question/20690553

注明：为什么例子是二次的呢？因为二次一定是凸函数。

皮果提的文章

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（一）牛顿法
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896453

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（二）拟牛顿条件
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896619

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（三）DFP 算法
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21896981

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（四）BFGS 算法
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/21897443

（本节完）