10X单细胞（10X空间转录组）降维分析之tSNE（算法基础知识

作者: 单细胞空间交响乐 | 来源:发表于2021-04-26 14:56 被阅读0次

hi，大家好，不知道大家对算法感不感兴趣，之前我分享了PCA的原理和一些分析技巧，大家可以参考单细胞PCA分析的降维原理,这篇主要讲PCA的降维原理，10X单细胞10X空间转录组降维分析之PCA轴的秘密,这篇主要讲PCA降维后的一些知识，10X单细胞（10X空间转录组）SeuratPCA分析之三---维度的选取,这篇主要讲我们在分析单细胞数据的时候，PCA维度的选取，而我们今天就是要在这个的基础上，进行下一步tSNE非线性降维，也就是数据的二维（或者三维）的降维可视化。

数据可视化是大数据领域非常倚重的一项技术，在数据可视化领域有很多值得尊敬的研究者，比如深度学习大牛Hinton(SNE)、Maaten(t-SNE)还有唐建大神，下面言归正传，我们从简单的基础知识开始。

说实在的，想要彻底搞清楚这些算法的原理并不轻松，需要长时间关注和积累。这里我把所需要知识和资料简要列出，供大家有针对性的了解。

降维

降维顾名思义就是把数据或特征的维数降低，一般分为线性降维和非线性降维，比较典型的如下：

线性降维：PCA(Principal Components Analysis)、LDA(Linear Discriminant Analysis)、MDS(Classical Multidimensional Scaling)，其中PCA我们分享的最多
非线性降维：Isomap(Isometric Mapping)、LLE(Locally Linear Embedding)、LE(Laplacian Eigenmaps) 大家可能对线性降维中的一些方法比较熟悉了，但是对非线性降维并不了解，非线性降维中用到的方法大多属于流形学习方法。（但我们今天所分享的tSNE并不是流形学习的方法，UMAP是，PHATE也是）

流形学习

流形学习(Manifold Learning)听名字就觉得非常深奥，涉及微分流行和黎曼几何等数学知识。当然，想要了解流形学习并不需要我们一行一行的去推导公式，通过简单的例子也能够有一个直观的认识。关于流行学习的科普文章首推pluskid写的《浅谈流行学习》，里面有很多通俗易懂的例子和解释。(这个对数学知识的要求更加苛刻，本人不是数学专业的人，但是我请教了一些数学专业的硕士，发现他们也讲不清楚)。

简单来说，地球表面就是一个典型的流形，在流形上计算距离与欧式空间有所区别。例如，计算南极与北极点之间的距离不是从地心穿一个洞计算直线距离，而是沿着地球表面寻找一条最短路径，这样的一条路径称为测地线。如下面所示的三幅图

流形与测地线

其中第一张图为原始数据点分布，红色虚线是欧式距离，蓝色实线是沿着流形的真实测地线距离。第二张图是在原始数据点的基础上基于欧式距离构造的kNN图（灰色线条，下面还会具体介绍kNN图），红色实线表示kNN图中两点之间的最短路径距离。第三张图是将流形展开后的效果，可以看到，kNN图中的最短路径距离（红色实线）要略长于真实测地线距离（蓝色实线）。

在实际应用中，真实测地距离较难获得，一般可以通过构造kNN图，在kNN图中寻找最短路径距离作为真实测地线距离的近似。（这些知识大家应该都不陌生吧，单细胞数据分析常用的方法）

t分布

大家在概率与统计课程中都接触过 $t$ 分布的概念，从正态总体中抽取容量为 $N$ 的随机样本，若该正态总体的均值为 $\mu$ ，方差为 ${\sigma}^2$ 。随机样本均值为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$ ，随机变量 $t$ 可表示为：

此时我们称 $t$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $t \sim t(n-1)$

下图展示了不同自由度下的 $t$ 分布形状与正态分布对比，其中自由度为1的 $t$ 分布也称为柯西分布。自由度越大， $t$ 分布的形状越接近正态分布。

正态分布与t分布

从图中还可以看出， $t$ 分布比正态分布要“胖”一些，尤其在尾部两端较为平缓。 $t$ 分布是一种典型的长尾分布。实际上，在稳定分布家族中，除了正态分布，其他均为长尾分布。长尾分布有什么好处呢？在处理小样本和一些异常点的时候作用就突显出来了。下文介绍t-sne算法时也会涉及到t分布的长尾特性。

kNN图

kNN图(k-Nearest Neighbour Graph)实际上是在经典的kNN(k-Nearest Neighbor)算法上增加了一步构图过程。假设空间中有 $n$ 个节点，对节点 $v_i$ ，通过某种距离度量方式（欧式距离、编辑距离）找出距离它最近的 $k$ 个邻居 ${v_1,v_2,\cdots,v_k}$ ，然后分别将 $v_i$ 与这 $k$ 个邻居连接起来，形成 $k$ 条有向边。对空间中所有顶点均按此方式进行，最后就得到了kNN图。
有关knn的知识可以参考我之前分享的文章机器学习的常用算法（生信必备）。

当然，为方便起见，在许多场景中我们往往将kNN图中的有向边视为无向边处理。如下图是一个二维空间中以欧式距离为度量的kNN图。

kNN图样例

kNN图的一种用途上文已经提到过：在计算流形上的测地线距离时，可以构造基于欧式距离的kNN图得到一个近似。原因很简单，我们可以把一个流形在很小的局部邻域上近似看成欧式的，也就是局部线性的。这一点很好理解，比如我们所处的地球表面就是一个流形，在范围较小的日常生活中依然可以使用欧式几何。但是在航海、航空等范围较大的实际问题中，再使用欧式几何就不合适了，使用黎曼几何更加精确。

kNN图还可用于异常点检测。在大量高维数据点中，一般正常的数据点会聚集为一个个簇，而异常数据点与正常数据点簇的距离较远。通过构建kNN图，可以快速找出这样的异常点。

k-d树与随机投影树

刚才说到kNN图在寻找流形的过程中非常有用，那么如何来构建一个kNN图呢？常见的方法一般有三类：第一类是空间分割树(space-partitioning trees)算法，第二类是局部敏感哈希(locality sensitive hashing)算法，第三类是邻居搜索(neighbor exploring techniques)算法。其中k-d树和随机投影树均属于第一类算法。（这一部分我们可以简单看一下，如果对算法感兴趣可以深入了解一下）。

很多同学可能不太熟悉随机投影树(Random Projection Tree)，但一般都听说过k-d树。k-d树是一种分割k维数据空间的数据结构，本质上是一棵二叉树。主要用于多维空间关键数据的搜索，如范围搜索、最近邻搜索等。那么如何使用k-d树搜索k近邻，进而构建kNN图呢？我们以二维空间为例进行说明，如下图所示：

k-d树示意图

上图是一个二维空间的k-d树，构建k-d树是一个递归的过程，根节点对应区域内所有点，将空间按某一维划分为左子树和右子树之后，重复根结点的分割过程即可得到下一级子节点，直到k-d树中所有叶子节点对应的点个数小于某个阈值。

有了k-d树之后，我们寻找k近邻就不用挨个计算某个点与其他所有点之间的距离了。例如寻找下图中红点的k近邻，只需要搜索当前子空间，同时不断回溯搜索父节点的其他子空间，即可找到k近邻点。

k-d树找k近邻

当然，搜索过程还有一些缩小搜索范围的方法，例如画圆判断是否与父节点的分割超平面相交等等，这里就不展开讨论了。

不过k-d树最大的问题在于其划分空间的方式比较死板，是严格按照坐标轴来的。对高维数据来说，就是将高维数据的每一维作为一个坐标轴。当数据维数较高时，k-d树的深度可想而知，维数灾难问题也不可避免。相比之下，随机投影树划分空间的方式就比较灵活，还是以二维空间为例，如下图所示：

随机投影树示意图

随机投影树的基本思路还是与k-d树类似的，不过划分空间的方式不是按坐标轴了，而是按随机产生的单位向量。有的同学说，这样就能保证随机投影树的深度不至于太深吗？随机产生的单位向量有那么靠谱吗？这里需要注意的是，我们所分析的数据处于一个流形上的，并非是杂乱无章的，因此从理论上讲，随机投影树的深度并不由数据的维数决定，而取决于数据所处的流形维数。(此处可参考Freund等人的论文《Learning the structure of manifolds using random projections》)

那么如何使用随机投影树寻找k近邻呢？当然可以采用和k-d树类似回溯搜索方法。但是当我们对k近邻的精确度要求不高时，可以采用一个更加简单巧妙的方式，充分利用随机投影树的特性。简单来说，我们可以并行的构建多个随机投影树，由于划分的单位向量都是随机产生的，因此每棵随机投影树对当前空间的划分都是不相同的，如下图所示

随机投影树找k近邻

例如我们想搜索红点的k近邻，只需要在不同的随机投影树中搜索其所处的子空间(或者仅回溯一层父结点)，最后取并集即可。这样做虽然在构建随机投影树的过程中较为耗时耗空间，但是在搜索阶段无疑是非常高效的。

先了解SNE（stochastic neighbor embedding）

SNE即stochastic neighbor embedding，是Hinton老人家2002年提出来的一个算法，出发点很简单：在高维空间相似的数据点，映射到低维空间距离也是相似的。常规的做法是用欧式距离表示这种相似性，而SNE把这种距离关系转换为一种条件概率来表示相似性，在这里，邻居关系通过概率体现。假设在高维空间中有两个样本点x_i和x_j,x_j以p_i|j的概率作为x_i的邻居，将样本之间的欧氏距离转化成概率值，借助于正态分布，此概率的计算公式为

图片.png
其中，σ_i表示以x_i为中心的正态分布的标准差，上式除以分母的值是为了将所有值归一化成概率。由于不关系一个点与他自身的相似度，因此p_j|i = 0 。投影到低维空间后仍然要保持这个概率关系。假设x_i和x_j投影之后对应的点为y_i和y_j,在低维空间中对应的近邻概率记为q_j|i,计算公式与上面的相同，但标准差统一设为1/√2 ，即：

图片.png
上面定义的是点x_i与它一个邻居点的概率关系，如果考虑其他所有点，这些点构成一个离散型概率分布P_i，是所有其他样本点成为x_i的邻居的概率。在低维空间中对应的概率分布为Q_i,投影的目标是将两个概率分布尽可能接近，因此，需要衡量两个概率分布的之间的相似度或差异。在机器学习中一般用KL（Kullback-Leibler）散度衡量两个概率分布之间的距离（关于KL散度的大家可以参考文章KL散度,我们下一篇详细分享一下KL散度），在生成对抗网络，变分自动编码器中都有它的应用。假设x为离散型随机变量，p(x)和q(x)是它的两个概率分布，KL散度定义为：

图片.png
KL散度不具有对称性，即一般情况下KL（p||q）不等于 KL（q||p），因此不是距离。KL散度是非负的，如果两个概率分布完全相同，有极小值0。对于连续性随机变量，则将求和变成定积分。
由此得到投影的目标为最小化如下函数：

图片.png
这里对所有样本点的KL散度求和，l为样本数。把概率计算的公式代入KL散度，可以将目标函数写成所有y_i的函数。该问题可以用梯度下降法求解，目标函数对y_i的梯度为：

图片.png

计算出梯度之后可用梯度下降法迭代，得到的最优y_i值即为x_i投影后的结果。

接下来我们来学习t分布随机近邻嵌入

虽然SNE有较好的效果，但训练时难以优化，而且很容易导致拥挤的问题。

拥挤问题(The Crowding Problem)

所谓拥挤问题，顾名思义，看看SNE的可视化效果，不同类别的簇挤在一起，无法区分开来，这就是拥挤问题。有的同学说，是不是因为SNE更关注局部结构，而忽略了全局结构造成的？这的确有一定影响，但是别忘了使用对称SNE时同样存在拥挤问题。实际上，拥挤问题的出现与某个特定算法无关，而是由于高维空间距离分布和低维空间距离分布的差异造成的。

我们生活在一个低维的世界里，所以有些时候思维方式容易受到制约。比如在讨论流形学习问题的时候，总喜欢拿一个经典的“Swiss roll”作为例子，这只不过是把一个简单的二维流形嵌入到三维空间里而已。实际上真实世界的数据形态远比“Swiss roll”复杂，比如一个10维的流形嵌入到更高维度的空间中，现在我们的问题是把这个10维的流形找出来，并且映射到二维空间上可视化。在进行可视化时，问题就来了，在10维流形上可以存在11个点且两两之间距离相等。在二维空间中呢？我们最多只能使三个点两两之间距离相等，想将高维空间中的距离关系完整保留到低维空间是不可能的。

这里通过一个实验进一步说明，假设一个以数据点 $x_i$ 为中心，半径为 $r$ 的 $m$ 维球(二维空间就是圆，三维空间就是球)，其体积是按 $r^m$ 增长的，假设数据点是在 $m$ 维球中均匀分布的，我们来看看其他数据点与 $x_i$ 的距离随维度增大而产生的变化。

代码如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.linalg import norm

npoints = 1000 # 抽取1000个m维球内均匀分布的点
plt.figure(figsize=(20, 4))
for i, m in enumerate((2, 3, 5, 8)):
    # 这里模拟m维球中的均匀分布用到了拒绝采样，即先生成m维立方中的均匀分布，再剔除m维球外部的点
    accepts = []
    while len(accepts) < 1000:
        points = np.random.rand(500, m)
        accepts.extend([d for d in norm(points, axis=1) if d <= 1.0]) # 拒绝采样
    accepts = accepts[:npoints]
    ax = plt.subplot(1, 4, i+1)
    ax.set_xlabel('distance') # x轴表示点到圆心的距离
    if i == 0:
        ax.set_ylabel('count') # y轴表示点的数量
    ax.hist(accepts, bins=np.linspace(0., 1., 50), color='green')
    ax.set_title('m={0}'.format(str(m)), loc='left')
plt.show()

结果如下图所示：

高维空间距离分布

从图中可以看到，随着维度的增大，大部分数据点都聚集在 $m$ 维球的表面附近，与点 $x_i$ 的距离分布极不均衡。如果直接将这种距离关系保留到低维，肯定会出现拥挤问题。如何解决呢？这个时候就需要请出 $t$ 分布了。

$t$ 分布随机近邻嵌入是对SNE的改进。 $t$ -SNE采用对称的概率计算公式，另外在低维空间中计算样本点之间的概率时使用 $t$ 分布代替了正态分布。

神奇的长尾——t分布

刚才预备知识部分说到，像 $t$ 分布这样的长尾分布，在处理小样本和异常点时有着非常明显的优势，例如下面这个图：

异常点与t分布

从图中可以看到，在没有异常点时， $t$ 分布与高斯分布的拟合结果基本一致。而在第二张图中，出现了部分异常点，由于高斯分布的尾部较低，对异常点比较敏感，为了照顾这些异常点，高斯分布的拟合结果偏离了大多数样本所在位置，方差也较大。相比之下， $t$ 分布的尾部较高，对异常点不敏感，保证了其鲁棒性，因此其拟合结果更为合理，较好的捕获了数据的整体特征。那么如何利用 $t$ 分布的长尾性来改进SNE呢？我们来看下面这张图，注意这个图并不准确，主要是为了说明 $t$ 分布是如何发挥作用的。

神奇的长尾

图中有高斯分布和 $t$ 分布两条曲线，表示点之间的相似性与距离的关系，高斯分布对应高维空间， $t$ 分布对应低维空间。那么对于高维空间中相距较近的点，为了满足 $p_{ij}=q_{ij}$ ，低维空间中的距离需要稍小一点；而对于高维空间中相距较远的点，为了满足 $p_{ij}=q_{ij}$ ，低维空间中的距离需要更远。这恰好满足了我们的需求，即同一簇内的点(距离较近)聚合的更紧密，不同簇之间的点(距离较远)更加疏远。

在SNE中 $pi|j$ 和 $pj|i$ 是不对等的，因此概率值不对称。可以用两个样本点的联合概率替代它们之间的条件概率解决此问题。在高维空间中两个样本点的联合概率定义为：

图片.png

显然这个定义是对称的，即= $pij=pji$ 。同样地，在低维空间两个点的联合概率为：

图片.png
目标函数采用KL散度，定义为：

图片.png

但这样定义联合概率会存在异常点问题。如果某一个样本 $xi$ 是异常点，即离其他点很远，则所有的|| $xi$ - $xj$ ||²都很大，导致与 $xi$ 有关的 $pij$ 很小，从而导致低维空间中的 $yi$ 对目标函数的影响很小。解决方法是重新定义高维空间中的联合概率，具体为：

图片.png

其中，n为样本点总数。这样能确保对所有的 $xi$ 有：

图片.png

因为：

图片.png
因此每个样本点都对目标函数有显著的贡献。目标函数对

y<sub>i</sub>

的梯度为：

图片.png

这中方法称为堆成SNE。

堆成SNE随便对SNE进行了改进，但还是存在拥挤的问题，各类样本降维后聚集在一起而缺乏区分度。解决方法是用 $t$ 分布替代了高斯分布，计算低维空间的概率值。相比于正态分布， $t$ 分布更长尾，对异常点更健壮。如果在低维空间使用 $t$ 分布，则在高维空间中距离近的点，在低维空间距离也要近；但在高维空间中距离远的点，在低维空间中距离要更远。因此，可以有效拉大各个类样本之间的距离。使用 $t$ 分布后，低维空间的概率计算公式为：

图片.png
目标函数同样采用KL散度。采用梯度下降法求解，目标函数对

y<sub>i</sub>

的梯度为：

图片.png

同样地，求解梯度之后可以用梯度下降法进行迭代从而得到 $yi$ 的最优解。

熟悉了这么多之后，很多Seurat分析单细胞数据的RunTSNE的参数我们就可以理解了：

library(Seurat)
help(RunTSNE)

参数的意义：

seed.use 这个参数最难就理解，我们知道计算机产生的随机数都是伪随机数，是利用算法产生的一系列数。因此，需要给函数一个随机值作为初始值，以此基准不断迭代得到一系列随机数。这个初始值就叫做随机种子。
tsne.method :Select the method to use to compute the tSNE. Available methods are
tSNE和FIt-SNE（有关Flt-SNE也需要很多内容，我们有机会再分享一篇这个算法）。

分析起来是如此的简单，背后的原理确实十分的复杂，大家多多学习，不要仅仅局限于会跑别人的代码

图片.png

生活很好，有你更好

10X单细胞（10X空间转录组）降维分析之tSNE（算法基础知识

数据可视化是大数据领域非常倚重的一项技术，在数据可视化领域有很多值得尊敬的研究者，比如深度学习大牛Hinton(SNE)、Maaten(t-SNE)还有唐建大神，下面言归正传，我们从简单的基础知识开始。

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降维

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t分布

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先了解SNE（stochastic neighbor embedding）

接下来我们来学习t分布随机近邻嵌入

拥挤问题(The Crowding Problem)

$t$ 分布随机近邻嵌入是对SNE的改进。 $t$ -SNE采用对称的概率计算公式，另外在低维空间中计算样本点之间的概率时使用 $t$ 分布代替了正态分布。

神奇的长尾——t分布

熟悉了这么多之后，很多Seurat分析单细胞数据的RunTSNE的参数我们就可以理解了：

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