Maxwell方程组

作者: Jupiter_19 | 来源:发表于2018-10-24 23:18 被阅读120次

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by 张少杰
Maxwell方程组是物理中最重要的方程之一，也数学中常见的偏微分方程. 本文整理从参考文献[1]抄来，删去了大量的物理上的细节的同时，尽可能简洁的呈现从几个基础的物理定律到完备的物理理论跨越的过程.

1. Maxwell方程组介绍

考虑媒质中的电磁场，有相对介电常数 $\varepsilon_r$ ，绝对介电常数为 $\varepsilon =\varepsilon_r\varepsilon_0$ , 还有磁导率 $\mu=\mu_r\mu_0$ . 在媒质中，定义 $D=\varepsilon E$ 以及 $B=\mu H$ . 而 $E$ 和 $B$ 为通常定义的电场强度和磁场强度.

当媒质导电时，传导电流强度为 $j_f$ ，空间电荷密度为 $\rho_f$ . 由电荷守恒定律，可知

$\begin{aligned} \displaystyle \frac d{dt}\int_\Omega\rho_f dV=-\int_\Gamma \mathbf j_f\cdot\mathbf ndS . \end{aligned}$

结合上面这些给定的符号，有下面这一重要的方程组：

麦克斯韦方程组的微分形式
$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{div} \; {\mathbf D} & = \rho_f ,\\ \mathrm{rot}\; {\mathbf E} &=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},\\ \mathrm{div} \; {\mathbf B} & = 0 ,\\ \mathrm{rot}\; {\mathbf H} &=\frac{\partial \mathbf D}{\partial t}+{\mathbf j_f}.\\ \end{aligned} \end{equation}$

麦克斯韦方程组的积分形式
$\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{\partial \Omega} {\mathbf D \cdot \mathbf n}\;dS = \int_\Omega \rho_f\;dV ,\\ &\oint_l\mathbf E\cdot d\,\mathbf l = -\int_S \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\cdot \mathbf n\;dS,\\ &\int_{\partial \Omega} \mathbf B\cdot\mathbf n\;dS=0, \\ &\oint_l \mathbf H\cdot d\,\mathbf l =\int_S\frac{\partial \mathbf D}{\partial t}\cdot \mathbf n\;dS+\int_S \mathbf j_f\cdot \mathbf n \;dS. \end{aligned} \end{equation}$

2. Maxwell方程组的简要推导

本小节通过三个电磁学中的实验定律(静电荷在电场受力、运动电荷在磁场中受力、磁场产生电场)，简要推导得到Maxwell方程组，此处一些细节性的内容适当的忽略了，严格的说明见参考文献[1]第一章.

2.1 库伦(Coulomb)定律

库伦定理说的是，在静电场中，点电荷 $q_1$ 产生的电场强度为：
$\mathbf E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 \mathbf r_1}{r_1^3}$
由这一简单的事实，可以证明高斯定理：在静电场中，通过任一封闭曲面 $\Gamma$ 向外的电通量，等于此曲面内部所包含的电荷的代数和除以 $\varepsilon_0$ . （证明过程见微积分中的高斯定理）

高斯定理说明，若封闭曲面 $\Gamma$ 内部的电荷的代数和为 $Q$ ，则有
$\int_\Gamma\mathbf E\cdot \mathbf n\;dS=\frac1{\varepsilon_0} Q$
而若更一般的情况下， $\Gamma$ 内部是体积密度为 $\rho$ 的连续分布的连续分布的电荷，则有
$\int_\Gamma\mathbf E\cdot \mathbf n\;dS=\frac1{\varepsilon_0}\int_\Omega \rho\;dV$
上式左右两边同乘 $\varepsilon$ ，可得Maxwell方程组的第一式. 该式表明静电场是有源的，散度为 $\rho/\varepsilon_0$ .

除此之外，对静电场中的任一封闭曲线 $l$ ，还有
$\oint_l\mathbf E\cdot d\mathbf l = \frac{Q} {4\pi\varepsilon_0}\oint_l \frac{\mathbf r}{r^3}\cdot d\mathbf r= \frac{Q} {4\pi\varepsilon_0}\oint_l \frac{1}{r^2} d r = 0 \qquad\qquad (1)$
这式表明静电场是无旋的.

再由于stokes公式， $(1)$ 等价于
$\begin{aligned} \int_s\mathrm{rot}\,\mathbf E\cdot\mathbf n\;dS=0 \end{aligned}$
其微分形式为 $\mathrm{rot}\,\mathbf E=0$ .

2.2 安培-毕奥-萨伐尔(Ampere-Biot-Savart)定律

现在考虑静磁场，其电荷非静止，从而形成电流. 实验表明，稳定电流形成的磁场仍服从库伦定律，因此2.1的结论依然成立.

人们发现通电导线在磁场中会收到力的作用，因此可以用电流和力来刻画磁场强度，即安培-毕奥-萨伐尔定律：
$d\mathbf F(P)=\mathbf j(P)dV(P)\times \mathbf B(P).$
其中" $\times$ "表示向量的外积.

对静磁场，其磁场强度 $B$ 满足安培定理：对任意封闭曲线 $l$ ，成立
$\oint_l\mathbf B\cdot d\mathbf l= \mu_0\int_S \mathbf j\cdot\mathbf n dS$
这里 $S$ 为任一以 $l$ 为边缘的曲面，其单位外法线向量 $\mathbf n$ 的取向与 $l$ 的回转方向构成右手系. (证明略)

再次借助Stokes公式， $\displaystyle \oint \mathbf B\cdot d\mathbf l=\int_s \mathrm{rot}\,\mathbf{B\cdot n}\,dS$ ，可得其微分形式. 说明静磁场是有旋的，旋度为 $\mu_0\mathbf j$ .

将其推广至媒质中，有 $\displaystyle \mu_0\int_S \mathbf j\cdot\mathbf n dS =\mu\left[\int_l(\mathbf j_d+\mathbf j_f)\cdot \mathbf ndS \right] = \mu \left[\int_S\frac{\partial \mathbf D}{\partial t}\cdot \mathbf n\;dS+\int_S \mathbf j_f\cdot \mathbf n \;dS.\right]$ ，等式两边同时除 $\mu$ ，可得Maxwell方程组的第四式.

由安培-毕奥-萨伐尔定律，还可以得到静磁场是无源场（证明略），即Maxwell方程组的第三式
$\int_S \mathbf{B\cdot n}\,dS=0.$

2.3 法拉第(Faraday)电磁感应定律

产生电场不一定需要有电荷，变化的磁场也能产生电荷. 根据法拉第电磁感应定律：沿任何封闭曲线 $l$ 的电场环量和通过以此曲线为边缘的任意曲面 $S$ 上的磁感通量的减少率成正比，即
$\oint_l\mathbf E\cdot d\mathbf l =-\int_S\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\cdot\mathbf n\,dS.$
这里单位外法线向量 $\mathbf n$ 的取向与 $l$ 的回转方向构成右手系.

法拉第电磁感应定律和式 $(1)$ 相加构成Maxwell方程组的第二式.

3. 参考文献

[1] 李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程[M], 高等教育出版社, 2005.

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