IEEE-754浮点标准^[1]

直至20世纪70年代末, 实数(十进制数)被不同的计算机厂商表示成不同的二进制形式, 这使得许多程序与不同的机器不兼容. 1980年IEEE委员会将实数的浮点数据表示进行了标准化. 该标准大部分由Intel基于8087数学协处理器定制的. 认识到不同的程序需要不同的精度, 因此建立了单精度和双精度. 而今几乎所有的软件和硬件公司都遵循这些标准, 因此有必要做一些了解.

IEEE-754单精度浮点数

IEEE单精度浮点数使用32位数据表示 到范围内的正负实数. 转换为十进制大约是 到的正负实数. 这种单精度浮点数有时也叫短实数. 32位单精度形式的赋值如下图所示:

i3e-single-precision-floating-point-numbers.png

为了数学处理器的硬件设计更简单以及更少的晶体管消耗, 指数部分被加上一个常数作为偏置指数. 从实数转换为浮点有以下步骤:

1. 实数转换为二进制形式.

2. 科学计数法表示二进制: 1.xxx E yyy ().

3. 第31位填充0(正数)或1(负数).

4. 指数部分, yyy加上0x7F作为偏置指数, 填充第30~23位.

5. 有效数字部分填充第22~0位.

例子

例1: 将转换成单精度(短实数)浮点.

= = 二进制科学计数法 1.00111 E 3

正数b31 = 0

偏置指数b30-23为1000 0010(3+7F=82H)

有效数字位b22-0为 001110000000000000000…00.

综合给出二进制形式, 下面一行是16进制值

0100 0001 0001 1100 0000 0000 0000 0000
4    1    1    C    0    0    0    0

例2: Convert decimal 15.575 to IEEE single-precision standard.

化成二进制形式
    15 = 0xF = 0b1111
    0.575 * 2 = 1.15    1
    0.15  * 2 = 0.3     0
    0.3 * 2 = 0.6       0

    0.6 * 2 = 1.2       1
    0.2 * 2 = 0.4       0
    0.4*2 = 0.8         0
    0.8*0.2 = 1.6       1

    15.575 = 1111.100 1001 1001... = 1.111 1001 0011 0011 E 3
指数: 3+0x7F = 0x82 = 1000 0010
浮点: 0100 0001 0111 1001 0011 0011... = 0x41793333

例3: Convert decimal –0.00075 to IEEE single-precision standard.

使用16进制转换为二进制形式
    0.00075 * 16 = 0.012    0
                 = 0.192    0
                 = 3.072    3
                 = 1.152    1
                 = 2.432    2
                 = 6.912    6
                 = 14.592   E
                 = 9.472    9
                 = 7.552    7
二进制形式: 0.00075 = 0x0.3126E97 E -2= 0b 1.1000100100110111010010111 E -11
指数: -0xB+0x7F = 0x74 = 0b 0111 0100
浮点: 1011 1010 0100 0100 1001 1011 1010 0110 = 0xBA449BA6

验证程序(c):

• c版本

  float x = -0.00075f;
  printf("0x%X\n", *(int*)&x);
  int y = 0xBA449BA6;
  printf("%f\n", *(float*)&y);
  

• java版本

  float x = -0.00075f;
  System.out.println(Integer.toHexString(Float.floatToIntBits(x)).toUpperCase());
  

应用

1. libminecraftpe.so某个函数的反汇编

   ; _DWORD ExperiencePotion::getThrowPower(ExperiencePotion *__hidden this)
                   EXPORT _ZN16ExperiencePotion13getThrowPowerEv
                   MOV.W           R0, #0x3F000000
                   BX              LR
   

   我们来算一下这个浮点值(怎么确定这是个浮点?):

   0x3F000000 = 0b 0011 1111 0000 ...0000
   b31=0, 正数
   指数: 0b011 1111 0 = 7E, 7E-7F=-1
   有效数字:0
   结果: 1.0 E -1(二进制) = 0.5(十进制)
   

2. 下面代码的输出结果

   float a = 0x7FFFFFFF;
   float b = 0x7FFFFFFE;
   System.out.println(a == b);
   

   对于float类型加1不会产生任何影响的最小数是, 而对于 double 类型最小 数是 . 相邻的浮点数值之间的距离被称为一个ulp^[3], 它是"最小单位 (unit in the last
   place)"的缩写. java中引入了Math.ulp方法来计算float或 double数值的ulp。

   例如, ulp(1.0f)=1.19xxE-7, ulp(0x7FFFFFC0) = 128.0, 于是(float)0x7FFFFFC0 = 0x7FFFFFFF.

3. 是否存在一个数a使得:a==a+1 && a==a+2为true?

4. 是否存在a,使得 a != a ?

5. 是否存在a,使得 a != a+0 ?

6. 下面代码输出结果什么?

   int start = 2_0000_0000;
   int count = 0;
   for (float f = start; f < start+20; f++){
       count++;
   }
   System.out.println(count);
   

IEEE-754双精度浮点数

双精度浮点数(Intel称之为长实数)可以表示 到的正负实数. 52位有效数字, 11位指数, 第63位表示符号. 转换过程和单精度浮点一样, 首先表成1.xxx E yyy, 然后yyy加3FF得到偏置指数. 如下图所示:

i3e-double-precision-floating-point-numbers.png

例4: Convert decimal 152.1875 to double-precision FP.

152.1875 = 二进制10011000.0011 = 科学二进制1.00110000011 E 7

b63 = 0

偏置指数b62-53 = 10000000110 (7+3FF=406)

有效数字位b52-0 = 00110000011000…..000

0100 0000 0110 0011 0000 0110 0000 0000 0000 ...  0000
4    0    6    3    0    6    0    0    0    ...  0

参考资料

[1]. Muhammad Ali Mazidi etc. ARM Assembly Language Programming & Architecture [M]. section5.3

[2].IEEE_754

[3].Unit in the last place