Ezio Malis, Manuel Vargas. Deeper understanding of the homography decomposition for vision-
based control. [Research Report] RR-6303, INRIA. 2007, pp.90.
Introduction
1. 提出Homography decomposition的解析解法，给出了解的解析表达，并描述了两个可能解之间的关系。
2. 基于Homography decomposition，提出position-based visual servoing的控制方案。在该方案中，end-effector渐进收敛到目标位置，并在收敛过程中找到可能解中的正确解。
Analytical method of homography decomposition
为了分解H，可以考虑如下对称矩阵S：
它也可以写成：
于是不妨拆分一下S：
得到x，y之后，经过一些 很多变换，就得到了R，t以及n的解析表达式啦，具体表达论文里给出了summary。瞅一眼，大概是这个画风：【逃。。。
从表达式中的+/-可以发现解并不惟一。事实上，我们得到了8组可能解。但现实的结界使得一些解是不存在的。【平面π一定在照相机前方】，这为我们消除了4组解。【观察到平面π同一些点的两个照相机一定是在平面同一侧的】（visibility constraint），又消除了2组解。
Homography Decomposition也有很多看起来友好一点的数值方法，但解析表达式的优势之一在于，由它就可以推出可能解之间的互推公式，大概长这样：
Position-based visual servoing based on analytical decomposition
利用analytical decomposition就可以做很多事情啦。
Position-based visual servoing 大概是指一个装有视觉传感器(camera)的机器人，它定位的方法是将看到的像素点转换成三维坐标。
要解决的问题是：
-首先，相机到达一个reference position，并记录该位置拍下的照片。
-现在装有相机的servo在另一个地方。已知信息有「servo在目前位置获取的照片」和「在reference position记录的照片」。
-目标是在不利用额外信息(a priori)的条件下将servo移动到reference position（即相机获取的图像与存储的reference处图像一致）。
系统所能直接控制的(input)是robot的速度。新一时刻的位置可由「上一时刻的位置」和「robot的速度」计算得到。（130）
由目前位置的图像和reference位置的图像，利用最小二乘估计，可得矩阵H。
利用解析分解(未应用visibility constraint)得到四个解：
用visibility constraint得到两个可能解，不妨假设是Rtna，Rtnb（包含从reference位置到相机此时位置的旋转平移信息以及图像平面的normal）。
Mean-based Control Law
接下来，定义一个error function (e)。（根据e调整input）
想法是：
1.式中Rtna和Rtnb权重应该相同，因为不知道哪个是真实解。
2.当相机到reference位置时，reference和current位于同一处，所以此时Homography分解出来的R和t应该为零，e应该为零。
3.找到e后，定义一个收敛的control law，当系统按此方法控制输入时，error function收敛到零。
由此，作者提出了Mean-based Control Law -- 取两个可能解的均值作为error function：
并引入中间步（相机与reference位置的镜头角度(orientation)相同，但相差一个translation error），当error function为零时，robot到达中间状态而非最终状态。
注意到我们已经得到了Rtna与Rtnb之间的转换公式，于是可以将两个可能解的均值用Rtna表示。
control law定义为：
v为robot的速度(input)，lambda可以用来调节收敛速率。
还可以定义error function的更新公式：
其中L为：
由此，迭代形成(closed loop control)：根据current位置计算error function —>（135）得到输入速度 —> 由速度与之前位置得到新位置 —>（136）计算新的error function —> 决定新输入。
作者还证明了，在这种control law下，et一定会收敛到0（注意这里并不是ta=tb=0，而是ta+tb=0），并且收敛过程中ta的模长不增。er也一定收敛到0，即Ra=Rb。//请自动脑补角标otz。。
注意到以上讨论是假设visibility constraint筛选出的可能解是Rtna，Rtnb。但若可能解是在Rtna和Rtnb-的情况中，et的收敛并未被全部证明，作者只给出了在ta模长小于1时收敛性成立的证明。（但根据模拟结果，似乎不符合条件的情况（即ta模长大于1时）也是稳定的。）
在这个control law的作用下，error function为零时R=0，而translation error并未被消除。于是我们可以得到正确的相机方向(orientation)，还可得到ta和tb（满足ta+tb = 0，并且两者只是在在na方向上有偏差）To be more specific:
Mean-based Control Law达到稳定时的情况，注意到ta和tb只是在na方向上有偏差
Switching Control Law
在得到这个平衡的过程中，真实解的na是始终不变的，而错误解中nb一开始与na“同侧”（因为最初Rtnb解通过了visibility constraint）。而在收敛过程中，nb会逐渐转动，直到它成为反向的na。这意味着自某一时刻起，nb便不再符合visibility constraint。由此可在两个可能解中找到真实解。
所以当我们检测到nb是错误解时，便可直接用Rtna作为控制输入的e以更快速地达到稳定状态。但如果直接从可能解均值转变为正确值会使e产生突变(abrupt changes)，注意到（137）L的表达式中存在偏导，这样的不光滑的变化会导致控制过程出错。我们需要采用一种平缓的过度 —— a switching control strategy。
在定义error function的时候不直接用两者的均值，而是用加权后的式子，即：
其中权重的选取需要在还未检测到t-vertical之前值都为1，而在检测到后权重分布改变迅速且光滑。指数似乎是一个好的选择。于是由exponentially decreasing time-function定义权重就会是这样的：
看一下效果：
在作者的参数下，通过14步迭代找到了正确解O.o
【简书能不能插LaTeX啊哭泣。。
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