【圆锥曲线】椭圆

作者: 如雨随行2020 | 来源:发表于2022-03-11 23:29 被阅读0次

【圆锥曲线】椭圆
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椭圆
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一、椭圆定义与标准方程

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1. 椭圆定义

$椭圆定义：到两顶点距离之和为定值的曲线$

2. 标准方程

$标准方程：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

3. 证明等价

为了方便计算，从定义到标准方程，即
$证明：到两点F_1(-c,0),F_2(c,0)距离之和为定值2a的运动轨迹满足方程:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b^2=a^2-c^2)$
推导过程
$$
\begin{align}

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y2}&=2a\
\sqrt{(x+c)^2 + y^2}&=2a - \sqrt{(x-c)^2+y2}\
x^2+2cx+c2+y^2 &=4a^{2-4a\sqrt{(x-c)}2+y^2}+x2-2cx+c^2+y2\
4a^{2-4cx&=4a\sqrt{(x-c)}2+y^2}\
a^2-cx &=a\sqrt{(x-c)^2+y2}\
a^4-2a2cx+c^2x2&=a^2(x2-2cx+c^2+y2)\
(a^2-c2)x^2+a2y^2&=a2(a^2-c2) \
\frac{x^2}{a2}+\frac{y^2}{b2}&=1 \qquad// b^2=a2-c^2
\end{align}
$$
由于每步都是等价的，所以反过来也可以由标准方程推出定义

二、切线方程

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问题

$已知：椭圆参数方程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ 求：过椭圆上一点M(x_0,y_0)的切线l$

解法

$\begin{align} &对于方程关于x求导得到\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy^{'}}{b^2}=0\iff\frac{x}{a^2}+\frac{yy^{'}}{b^2}=0\\ &所以在M点的斜率k_l=y^{'}|_{x_0}满足方程:\frac{x_0}{a^2}+\frac{y_0k_l}{b^2}=0\cdots\cdots\cdots(1)\\ &假设l上的动点P(x,y),则k_l=\frac{y-y_0}{x-x_0}\\ &将k_l代入上面方程(1)得\frac{x_0}{a^2}+\frac{y_0\frac{y-y_0}{x-x_0}}{b^2}=0\iff \frac{x_0(x-x_0)}{a^2}+\frac{y_0(y-y_0)}{b^2}=0\\ &\iff \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 \end{align}\\$

三、椭圆光学性质

椭圆的光学性质：从一个焦点发出的光线，都会汇聚到另一个焦点。

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问题描述：

$证明：椭圆的焦点F_1,F_2,以及椭圆上任意一点C(C不和F_1F_2共线)，作C的角平分线l,过C点作l的垂线m\\则m为椭圆的切线$

证明思路：

$作CF_1关于m的对称线段CA。容易证明A、C、F_2共线，而对于m上不是C的点P都有：$
$PF_1+PF_2 = PA+PF_2 > AC+CF_2=2a$
$也就是说PF_1+PF_2>2a,即P点落在椭圆外。直线m与椭圆只有C一个交点，即m是椭圆的切线$

离心率（e= $\frac{c}{a}$ ）

$e=\frac{c}{a}$

因为a>c>0，所以0<e<1。e越趋近1，则c越趋近a，从而b趋近0，椭圆越扁；反之e越趋近0，c越趋近0，b越趋近a，椭圆就越趋近于圆

椭圆第二定义

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另外圆锥曲线第二定义： $平面上一点到一个定点和定直线的距离之比小于1时，轨迹是椭圆；等于1时，轨迹是抛物线，大于1时，轨迹是双曲线$

证明：
$\begin{align} 根据已知有:\frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\frac{a^2}{c} - x} &= \frac{c}{a}\\ \sqrt{(x-c)^2+y^2} &= ({\frac{a^2}{c} - x})\frac{c}{a} = a-\frac{cx}{a}\\ x^2-2cx+c^2+y^2 = (x-c)^2+y^2&=a^2-2cx+\frac{c^2x^2}{a^2}\\ (1-\frac{c^2}{a^2})x^2 + y^2 &= a^2-c^2 （又\because b^2=a^2-c^2）\\ \frac{b^2}{a^2}x^2+y^2&=b^2（两边除以b^2）\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1（证毕）\\ \end{align}$

准线（ $x=\pm\frac{a^2}{c}$ ）

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焦准距（p= $\frac{b^2}{c}$ ）

焦点到相应准线的距离，比如右焦点 $(c, 0)$ 到右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ ，为定值: $p=\frac{b^2}{c}$

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焦半径（r= $a\pm ex$ 或者 $\frac{ep}{1\pm e\cos{\theta}}$ ）

椭圆上一点到椭圆焦点的距离称为焦半径，如下图；在这种情况下 $r=a-ex$

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推导过程用标准方程计算，去凑 $a-ex$ 即 $a-\frac{c}{a}x$ 就可以了

或者利用椭圆第二定义证明（更快）

第二种： $r=\frac{ep}{1\pm e\cos{\theta}}$

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证明： $椭圆上一点到右焦点距离r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}}$
$\begin{align} &设P到右准线的距离为m，则r\cos\theta+m=p（F_2到右准线距离，即焦准距），又根据椭圆第二定义得：\frac{r}{m}=e\Rightarrow m=\frac{r}{e}\\ &将m带入1式：r\cos\theta+\frac{r}{e}=p，整理得r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}} \end{align}$
同理易证： $到左焦点距离r=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}}$

通径（d= $2ep$ ）

过焦点，垂直于主轴的弦长 $d=2ep$

性质：所有过焦点的弦中最短的

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证明：通径是所有过焦点的弦中，最短的那条

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$\begin{align} 如图：则AB&=AF_2+BF_2\\ &=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}}+\frac{ep}{1-e\cos{\theta}}\\ &=2ep\frac{1}{1-e^2\cos^2\theta}\\ \end{align}$

$\begin{align} &当\theta=\pi/2时，AB=2ep\ (最短)，即为通径\\ &当\theta=0时，AB=2a\ (最长)，即为长轴 \end{align}$

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