数字逻辑的极限

人类，特别是智慧的人类，一直执著的相信科学可以战胜一切，所有的事物都是可以理解，随着人类智慧的真假，终极的真理也可以被有限的我们理解。那个时候，甚至整个宇宙都可以在一个数字系统里面被模拟，我们人类也就成了上帝。很多人都有这样的误区，前些年和国内来的一个访问学者聊天，他也相信随着人类的发展，一切不被了解的事物都可以被了解。这里我们要定义什么是了解，我们说的是用逻辑去解释和分析一件事情，知其然，并知其所以然，就是所有的科学和作为科学之母的数学的根基。然而，果真是这样么？

希尔伯特

1900年的巴黎，在世纪交替之际，希尔伯特提出了他著名的23个问题。其中第二个问题——算术系统的相容性——正是他那雄心勃勃的“希尔伯特计划”的最后一步。这位数学界的巨人，打算让整个数学体系矗立在一个坚实的地基上，一劳永逸地解决所有关于对数学可靠性的种种疑问。一切都为了回答三个问题：

数学是完备的吗？也就是说，面对那些正确的数学陈述，我们是否总能找出一个证明？数学真理是否总能被证明？

数学是一致的吗？也就是说，数学是否前后一致，不会得出某个数学陈述又对又不对的结论？数学是否没有内部矛盾？

数学是可判定的吗？也就是说，能够找到一种方法，仅仅通过机械化的计算，就能判定某个数学陈述是对是错？数学证明能否机械化？

希尔伯特明确提出这三个问题时，已是28年后的1928年。在这28年间，数学界在算术系统的相容性上没有多少进展。但希尔伯特没有等太久，仅仅三年后，哥德尔就得到了前两个问题的答案，尽管这个答案不是希尔伯特所希望看到的。

哥德尔

哥德尔的答案分两部分。

第一，任何包含了算术的数学系统都不可能同时拥有完备性和一致性，也就是说，如果一个数学系统包含了算术的话，要么它是自相矛盾的，要么存在一些命题，它们是真的，但我们却无法证明。这说明，希尔伯特的前两个问题不可能同时为真。在这里，“算术”有着精确的含义，就是皮亚诺公理，一组描述了自然数的公理。

第二，任何包含了算术的数学系统，如果它是一致的，那么我们不能在它的内部证明它本身的一致性。这说明，我们没有希望解决第二个问题。

这就是著名的哥德尔不完备性定理，与其说它回答了希尔伯特的前两个问题，不如说它阐述了为什么我们根本不可能解决这两个问题。既然希尔伯特计划的第二步都被证明是不可行的，那么第三步也就没有必要继续下去了。第三步是寻求一个能机械证明所有数学定理的程序，著名的停机定理也否定了这种可能性。停机定理的证明相对比较简单，也是利用自指的技巧，证明这样程序是不可能存在的。

至此，希尔伯特那宏伟的计划宣告全盘失败。

有些事情，我们确实不知道，我们也无从知晓，即使对于简单的数字。逻辑指出了自己的局限。

这个定理讲的是数学，然而数学是科学之母。如今的科学几乎没有不需要数学的。这个定理给我们一些启示，告诉我们科学的极限在于这个世界有太多我们无法去分析，甚至有很多直到宇宙的终结我们也无从以数字逻辑来知晓的事情。 所以，如果有个人说，他通过算术，或是基于数字的科学知道了这个世界有神，或是没有神。我可以明确的说，这个人在胡说八道。这样的事情我们无法通过这种方法知晓。

上帝的存在，犹如哥德尔不完备性定理的第一个命题。我们这个世界，如果不是自相矛盾的，那么肯定有一些真命题，我们无法证明，有一些真理，我们无从理解。

世界之复杂繁复，是数字系统所能精确描述的么？美国科幻电影里面那种通过计算机模拟的世界，真的可以存在么？在这里我们必须说，对于现在基于数字逻辑的图灵机，也就是状态机，我们是无法用其来描述我们的世界。太多太多的命题，即是对的，又是错的，可以是对的，也可以是错的。有的人爱一个人，又恨一个人所做的，那他到底是爱这个人还是恨这个人？

我们又回到量子贝叶斯的问题上面来了。问题不在于逻辑的是与非，而是在于你相信什么，你选择什么。

当我们人类了解了自身的局限，了解了世界不是简单冰冷的数字逻辑可以描述。我们自己的感性，我们那些无从以科学和逻辑理解的感情，也是这个物质世界有机的，活跃的，不可缺少的一部分。