看到一道研究生入学题，有点意思，就试着玩了一下。
题目：
A,B,C…,I代表整数1-9（不一定按照顺序，但不重复），满足如下等式：
A+B+C+D = 20
B+C+D+E+F =20
D+E+F+G+H = 20
F+G+H+I = 20
请给出满足上面约束的A-I的值一共有多少种不同的可能结果，并写明过程。
解题过程中走了一些弯路，还好时间足够，能够搞得定了。
解法1:
首先我们需要注意到方程的一些性质。
1.B+C,G+H总是一起出现的，具有互相替换性，所以一种情况总是推出可交换的2*2=4种。
(比如B=b1,C=c1满足条件，那么交换后B=c1,C=b1肯定也满足的)
2. A-I实质上是在方程中的分布是对称的，如A=a1,B=b1,....I=i1满足条件的话，那么A=i1,B=h1,...I=a1也是满足的。
有了上面两个规律就可以减少许多工作量了。
同时我们可以得出一些等式：
B+C+D=20-A
F+G+H=20-I
E+F=A
E+D=I
可以论证这4个等式和题目的给定条件是等价的，并且更容易发现A~I的对称性。
并且我们能得出重要的第五个等式
5.B+C=G+H
我们将以9这个数字为出发点来考察题目。
情况1:
如果9是B,C,D,E,F中的某个数，则设想为1+2+3+4+9=19可以得到B,C,D,E,F必是1,2,3,5,9的组合。
否则必然出现B+C+D+E+F>20的情况，与题设矛盾。
因此可以得到A,G,H,I是剩下4个数4,6,7,8的组合.这4个数最小的是4,6.
G+H=B+C>=10
则等式5有以下可能性:1+9=4+6,2+9=4+7,5+9=6+8.3+9=4+8
以上3种可能性分别考察.
可能1:B,C为1，9组合;则G，H为4，6组合;D,E,F为2，3，5的组合;A,I为7，8组合。
若A=8,I=7,则由等式1推出D=2,继续由等式4推出E=5,F=3.
这样我们得到了第一组结果：(注：由于性质1，每组结果实质对应4种最终情况，后面不再说明)
A=8,B=1,C=9,D=2,E=5,F=3,G=4,H=6,I=7
若A=7,I=8,则由等式1推出D=3,继续由等式4推出E=5,F=2.
这样得到第二组结果:
A=7,B=1,C=9,D=3,E=5,F=2,G=4,H=6,I=7
可能2:B,C 为2，9组合，G，H为4,7 组合，D,E,F为1,3,5组合，A,I为6，8组合。
若A=8,I=6,则由等式1推出D=1,继续由等式4推出E=5,F=3.
这样得到第三组结果:
A=8,B=2,C=9,D=1,E=5,F=3,G=4,H=7,I=6
若A=6,I=8,则由等式1推出D=3,继续由等式4推出E=5,F=1.
这样得到第四组结果 ：
A=6,B=2,C=9,D=3,E=5,F=1,G=4,H=7,I=8
可能3:B,C为5，9组合，则G，H为6，8组合，D,E,F为1，2，3组合，A，I为4，7组合。
若A=7,I=4,则B+C+A=5+9+7=21>20,矛盾。
若A=4,I=7，则由等式1推出D=2,继续由等式4推出E=5,与E为1，2，3之一矛盾，因此舍弃。
可能4:B,C为3，9组合，G,H为4,8组合，D,E,F为1,2,5组合，A,I为6，7组合.
若A=6,I=7,则由等式1推出D=2,继续由等式4推出E=5,F=1.
这样得到第五组结果:
A=6,B=3,C=9,D=2,E=5,F=1,G=4,H=8,I=7
若A=7,i=6,则有等式1推出D=1,继续由等式4推出E=5,F=2.
这样得到第6组结果：
A=7,B=3,C=9,D=1,E=5,F=2,G=4,H=8,I=6.
情况2:如果9是G和H中的某个数，由性质2显然可以得到对应的6组结果。
情况3:如果9是A，即A=9.
则上面的等式可进一步化为
6.B+C+D=11
7.E+F=9
8.D+G+H=11
9.D+E=I
显然B+C=G+H,满足这一等式最小的4个数字为1,4,2,3.所以B+C>=5,D<=6.
令S=B+C+D+E+F+G+H+I,由于B~I为1～8的组合，可得：S=36.
另一方面,由等式6,7,8,9得到
S=11-D+D+9+11-D+D+E=31+E,得到E=5.F=4.
得到D+5=I. D<=3.
若D=1,则I=6,B,C,G,H为2，3，7，8的组合。得到两组结果:
A=9,B=2,C=8,D=1,E=5,F=4,G=7,H=3,I=6
A=9,B=3,C=7,D=1,E=5,F=4,G=2,H=8,I=6
若D=2,则I=7,B,C,G,H为1，3，6，8的组合。得到两组结果：
A=9,B=1,C=8,D=2,E=5,F=4,G=3,H=6,I=7
A=9,B=3,C=6,D=2,E=5,F=4,G=1,H=8,I=7
若D=3,则I=6,B,C,G,H为1,2,7,8的组合。得到两组结果：
A=9,B=1,C=8,D=3,E=5,F=4,G=2,H=7,I=6
A=9,B=2,C=7,D=3,E=5,F=4,G=1,H=8,I=6
这种情况共6个结果。
情况4:若I=9,由性质2同样得到6组结果。
一共有(6+6+6+6)*4 = 96种可能情况.
后来想到总是得出E=5这个结果，显然我在论证中出现了较大偏差，于是反思后得到下面的解法。
解法2:
首先我们需要得到E=5这个最重要的结果。
令S=A+B+C+D+E+F+G+H+I
则S=45,减去方程1和方程4得E=5.
则原方程化为：
1.A+B+C+D=20
2.B+C+D+F=15
3.D+F+G+H=15
4.F+G+H+I=20
这样容易得到三个推导式:
5.A-F=5
6.I-D=5
7.B+C=G+H
1-9中满足差为5的组合有4种:6-1,7-2,8-3,9-4
下面我们将论证只要随意从上面4组中取两组作为A-F,I-D的值，而剩下4个数满足B+C=G+H即可得到一种情况.
显然取值之后A+D=I+F
B+C=G+H
则A+B+C+D=I+F+G+H
而上式左右和为40，显然证明了方程1成立，很容易证明方程2，3，4均成立。
A-F,I-D的值有4*3=12种。
剩下4个数化为B,C,G,H有8种。
所以最后总共有 12*8=96种情况。
最后的最后，我觉得我脑子越来越不好使了，不过多点耐心还能用罢了。
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