连分数

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2022-09-07 16:44 被阅读0次

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看了关于连分数的文章，发现挺有意思的，连分数的基础是逐项的连乘积可以展开为连分数。

推导

${1+a_1=\frac{1}{1-\frac{a_1}{1+a_1}}}$
${a_0+a_0a_1=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1}}}$
${a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2=\frac{a_0}{1-\frac{a_1(1+a_2)}{1+a_1(1+a_2)}}=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{\frac{1}{1+a_2}+a_1}}\\=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{a_1+\frac{1}{1+a_2}}}=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{a_1+1-\frac{a_2}{1+a_2}}}}$
${a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+a_0a_1a_2a_3=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{a_1+1-\frac{a_2(1+a_3)}{1+a_2(1+a_3)}}}\\=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{a_1+1-\frac{a_2}{a_2+1-\frac{a_3}{1+a_3}}}}}$
分数前一直都是负号，之前被一张图片误导了，以为是正负交替，重算了好几回。推导方式是迭代法。于是通过在无穷级数展开式中不断提取公因数，就可以将级数展开为连分数。

简写

然后是简写
${1+a_1=\frac{1}{1-}\frac{a_1}{a_1+1}}$
${a_0+a_0a_1=\frac{a_0}{1-}\frac{a_1}{a_1+1}}$
${a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2=\frac{a_0}{1-}\frac{a_1}{a_1+1-}\frac{a_2}{a_2+1}}$
${a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+a_0a_1a_2a_3=\frac{a_0}{1-}\frac{a_1}{a_1+1-}\frac{a_2}{a_2+1-}\frac{a_3}{a_3+1}}$
将后面的项依次向下移就得到原来的式子。其实是把分数的嵌套变成平行放置。
具有明显的规律性
分子是 ${a_0,a_1,a_2,a_3,...}$
分母是 ${1,a_1+1,a_2+1,a_3+1,...}$

通项公式

由此写出通项
${a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+...+a_0a_1...a_n=\frac{a_0}{1-}\frac{a_1}{a_1+1-}\frac{a_2}{a_2+1-}\cdots\frac{a_n}{a_n+1}}$

应用

可以借此展开三角函数
${sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\=x+x(-\frac{x^2}{2\cdot 3})+x(-\frac{x^2}{2\cdot 3})(-\frac{x^2}{4\cdot 5})+x(-\frac{x^2}{2\cdot 3})(-\frac{x^2}{4\cdot 5})(-\frac{x^2}{6\cdot 7})+\cdots \\=\frac{x}{1-}\frac{-\frac{x^2}{2\cdot 3}}{-\frac{x^2}{2\cdot 3}+1-}\frac{-\frac{x^2}{4\cdot 5}}{-\frac{x^2}{4\cdot 5}+1-}\cdots}$
整理之后就是常见的公式
${sin(x)=\frac{x}{1+}\frac{x^2}{2\cdot 3-x^2+}\frac{2\cdot 3x^2}{4\cdot 5-x^2+}\cdots}$