二次函数

到初中之后我们学习了各种函数，比如我们学习的正比例函数，再到初二学习的一次函数，还有初三学习的反比例函数等等。

我们会发现，第一我们学习的过程是一个从特殊到一般的过程，就比如在我们学习正比例函数的时候，函数图像是过原点的一条直线，并且函数解析式是y=kx，但是在我们学习一次函数的时候，函数图像就变成了不过原点的一条直线，而函数解析式也就变成了y=kx+b，这个例子也就证实了我们学习的方法和过程是从特殊到一般的一个逐渐普遍的过程。第二，我们会发现所谓函数其实并不是一个独立单独的存在，函数以及函数解析式是可以和我们所学习的一元一次方程，一元二次方程和我们在初二所学习的一元一次不等式结合在一起的，所以当我们在分析一个正常的函数解析式是我们可以同时分析这个解析式的方程和不等式到底是什么，以及它的图像中是怎么表达的。

而上了初二之后，我们学习了一元二次方程那么，一元二次方程能不能和函数结合呢？

在我们经过了初三的学习，我们会发现是可以的。而与一元二次方程结合的方程叫做二次函数。

而在学习二次函数之前，我们需要先复习一下，与他名字很像的一次函数有什么性质？就比如， Y=X+2有什么性质呢？我们可以从图像的角度去分析，我们会发现，这一个图像过，123象限图像斜向上，K>0， B>0，Y随X的增大而增大。而这个函数对应的方程就是X-2=0，用数的角度去求解，其实很容易就让我们解一元一次方程的方式，可以解得X=-2，形的角度解释就是函数图像与X轴交点的横坐标。同时这个函数图像对应的不等式是 X+2小于0和 X+2>0，从数的角度去求解，我们可以发现， 这个不等式的解是 X>-2，X小于-2。而从形的角度就是函数图像上X轴上方的无端点射线的横坐标，和函数图像上x轴下方的无端点射线横坐标。

那二次函数是什么呢？其实通过浪漫的感知，我们会发现二次函数就是Y=  X的平方+2。但是，从上文中我们都知道，当我们学习一个函数的时候，要从特殊到一般开始学习，那对于二次函数最一般的函数是怎样的呢？

其实和一次函数也是十分相似的，在一次函数的学习中，我们先学的是Y=kX，那在二次函数的学习中。我们要先学习的，同样是Y=a（x的平方）。通过探究我们会发现。由这样的式子构成的二次函数图像是一条抛物线，同时这样的抛物线有最高点和最低点，并且最高点和最低点过原点，由于它是抛物线，所以它的开口有向上和向下两种区别。在我们探究了这个之后，我们就可以向一般逐渐开始发展。

就比如Y=X的平方+2和Y=-X的平方-2。

我们先从数的角度分析， X的平方具有非负性， X的平方加2一定是一个正数，而这也就证明了Y一定是一个正数，也就是说不管X是负数还是正数，y都只会是正数。因此X平方的最小值等于0，这时X也等于0，当我们把这个数代入函数解析式后，就可以得出Y的最小值是2。

接下来我们再从图像的角度去分析和证实我们刚才的观点和这个函数图像的性质。通过列表描点连线，我们就可以画出Y=X的平方+2的这个图像，此时，我们可以看到这个函数图像的最低点为2，并且函数图像开口向上，同时，整个图像关于 Y轴对称。

所以这也就恰恰证明了我们刚才的观点，刚才我们从式子可以分析出Y的最小值为2，而在图像中，当X为0时，Y的最小值确实为2。并且由于X有两种可能，所以图像关于Y轴对称。

那么这个二次函数对应的方程和不等式分别是什么呢？

首先这个函数图像的方程是X的平方+2等于0，从数的角度我们会发现我们无法解出这个方程的解， X的平方=-2， 但由于根号具有非负性，所以 X无实数解。而从形的角度我们会发现， X平方+2=0的时候就是Y=0，而在图像上Y最小值为2，所以从形的角度我们会发现这个方程确实无解。

其次，这个函数图像对应的不等式是x的平方+2>0和X的平方+2小于0，我们并没有学过如何解一元二次不等式，但是我们从行的角度可以分析出来，在这个图像上Y的最小值为2，也就是x的平方加2的最小值为2，所以，不等式X的平方+2>0是符合这个图像的，这个图像中所有的点都是不等式，X的平方+2>0的解集。 R不等式X的平方小于0是不符合这个图像的。

同理，我们还可以探究Y=负X的平方-2，我们先从数的角度分析，然后再通过列表描点连线画出这个函数的图像。

同时我们可以证实我们刚刚所分析的此函数图像的性质。只是与方才的函数图像不同的是，y没有最小值只有最大值， Y的最大值为-2，也就是函数图像的最高点为-2，而这个函数图像的开口向下，并且图像关于Y轴对称。同时关于这个函数解析式的方程与不等式，我们也可以通过刚才的方式判断，但是也与刚才的函数解析式相反。

这就是较为特殊的函数解析式，Y=X的平方+B的探究历程。