【MIT】09-线性独立-生成空间-向量空间的基与维数

内容

第9课首先介绍本课知识的一个背景，之后讲解什么是线性独立 linear Independence, spanning a space, BASIS and dimension.

• 1 背景：
  • A为m*n的矩阵，而m<n, 那么 Ax=0 的解：有0解+非零解。主要是因为存在free variables 自由变量。这可参考第8课的内容。
• 2 Linear Independence
  • what？ 简单点说，如果存在n个向量xi，这些向量的任意线性组合都不为0，除非它们前面的系数都为0. 数学形式表示就是
    • c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn !!!= 0 , except that ci = 0
    • 【矩阵形式】： xi 列向量可组成矩阵 A，ci则是看为位置向量；那么 Ac = [0] 只存在0解，就说明 A的列向量是线性独立的。
      • 这个又要涉及到一般的齐次方程组Ax=0 的问题，也就是前面的背景了。有无解可以看矩阵A的秩。核心还是前面所说的背景。有无解的问题。
      • r(A) = n ,即A列满秩的时候， Ax= 只有0解，A中的所有列向量线性独立；
      • r(A) < n, 则 N(A) 【Ax=0的解空间】包含非零向量，那么A中的所有列向量线性不独立。
• 3 Spanning A space ：
  • if 有 V1，V2, ...,Vl个向量生成一个空间，指的是这个空间包含这些向量的所有线性组合。
• 4 向量空间的基和维数
  • if 一系列向量可以生成一个空间（列空间），而这些向量个数最小，也能生成该空间，then 这些向量就是这个空间的基
  • BASIS 空间中一系列的向量满足 【2个特征】
    • They are independent
    • they span the space

L9-NOTE

@安然Anifacc
2016-12-02 09:08:59