波动方程的分离变量法

作者: 流星落黑光 | 来源:发表于2018-11-11 15:37 被阅读0次

波动方程初边值问题

首先给出波动方程初边值问题的格式：（记为方程A）
$u_{tt} - a^2u_{xx} = f(x,t)\;\;(1)$ $u(x,0) = \varphi (x),u_t(x,0) = \psi(x)\;\;(2)$ $u(0,t) = 0,u(l,t) = 0\;\;(3)$ 其中，（1）为运动方程，（2）为初始条件，（3）为边界条件（齐次形式）。

利用叠加原理分成两个问题

方程B
$u_{tt} - a^2u_{xx} = 0\;\;(4)$ $u(x,0) = \varphi (x),u_t(x,0) = \psi(x)\;\;(5)$ $u(0,t) = 0,u(l,t) = 0\;\;(6)$ 方程C
$u_{tt} - a^2u_{xx} = f(x,t)\;\;(7)$ $u(x,0) = 0,u_t(x,0) = 0\;\;(8)$ $u(0,t) = 0,u(l,t) = 0\;\;(9)$ 由叠加原理，若方程B和方程C分别有解 $u_1,u_2$ 那么方程A的解 $u=u_1+u_2$ 。过程略。由齐次化原理我们可以将方程C转化为方程B的形式求解，因此在此我们只讨论方程B的解。

分离变量法（驻波法）

简要的说明一下驻波法的数学推导步骤

构造满足运动方程（4）和边值条件（6）特解（单音） $u(x,t)=X(x)T(t)$
先代入运动方程（4）得到T和X满足的带系数 $\lambda$ 的常微分方程
将X的通解代入边值条件（6），得到 $\lambda$ 的取值（一列 $\{\lambda(k)\}$ ）
将 $\{\lambda(k)\}$ 代入T的常微分方程，求出T的解
将X和T的解（有系数 $A_kB_k$ ）代入 $u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)$
通解 $u$ 为 $u_k$ 的线性组合（此处需要边值条件（6）必须是齐次的！也就是说驻波法要求齐次边值条件）
要求通解 $u$ 满足初值条件（5），刚好满足傅里叶展开的形式。由傅里叶展开“正交系”的性质求出系数 $A_kB_k$
至此，通解 $u$ 已求出。

step1变量分离的构造（驻波法的物理背景）

想法：由物理知识（还有傅里叶展开），我们想到

物理背景：弦振动所发出的声音可以分解为各种不同频率的单音的叠加，相对于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化时各点的振幅作同步的变化，也就是说，每种单音都是具有形式为 $u(x,t) =X(x)T(t)\;\;(10)$ 形式的特殊解，而整个复杂振动过程可以通过这种特殊解的叠加得到。

step2代入运动方程（4）

将（10）代入（4），得到
$X(x)T''(t) - a^2X''(x)T(t) = 0$ 变量分离，得到
$\frac{T''(t)}{a^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$ 其中 $\lambda$ 是特征值。
$\left\{\begin{matrix} T''(t) + \lambda a^2T(t)=0\;\;(11) \\ X''(x) + \lambda X(x)=0\;\;(12) \end{matrix}\right.$

step3将X的通解代入边值条件（6）

（ $\lambda <=0$ 的计算过程与下面类似，但只能得到0解，不是我们想要的。在此省略过程）
当 $\lambda >0$ ，（12）的通解为
$X(x) = C_1 cos(\sqrt{\lambda} x)+ C_2 sin(\sqrt{\lambda} x)$ 由边值条件（6） $X(0)=0$ ，有 $C_1=0$
再由 $X(l) = 0$ ，有 $X(l) = C_2 sin(\sqrt{\lambda} l) = 0$
若要 $C_2$ 不为零，必须有 $\sqrt{\lambda}l = k\pi,(k = 1,2, \dots )$
即 $\lambda = k^2\pi^2/l^2,(k = 1,2, \dots )$

step4将 $\{\lambda(k)\}$ 代入T的常微分方程，求出T的解

$X_k = C_k sin(k\pi x/l)$ $T_k = A_k cos(k\pi at/l) + B_k sin(k\pi at/l)$

step5将X和T的解（有系数 $A_kB_k$ ）代入 $u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t)$ $u_k(x,t)=X_k(x)T_k(t) = (A_k cos(k\pi at/l) + B_k sin(k\pi at/l))sin(k\pi x/l)$

由齐次边值条件（6），通解 $u$ 为
$u(x,t) = \sum_{k=1}^\infty (A_k cos(k\pi at/l) + B_k sin(k\pi at/l))sin(k\pi x/l) \;\;(13)$ 对t求导，得
$u_t(x,t) = \sum_{k=1}^\infty k\pi a/l(-A_k sin(k\pi at/l) + B_k cos(k\pi at/l))sin(k\pi x/l) \;\;(14)$

step7要求通解 $u$ 满足初值条件（5）

初值条件（5）： $u(x,0) = \varphi (x),u_t(x,0) = \psi(x)$
由（13）（14），有
$u(x,0) = \sum_{k=1}^\infty A_ksin(k\pi x/l) = \varphi(x)\;\;(15)$ $u_t(x,0) = \sum_{k=1}^\infty (k\pi a/l) B_k sin(k\pi x/l) = \psi(x)\;\;(16)$ 以（15）为例计算：
由 $sin(k\pi x)$ 的“正交系”性质，即
$\left\{\begin{matrix} \int_0^1 sin^2(k\pi x)dx = 1/2 \\ \int_0^1 sin(k_1\pi x)sin(k_2\pi x)dx = 0,\forall k_1 \neq k_2 \end{matrix}\right.$ 因此，将（15）左右同乘 $sin(k\pi x/l)$ 并在 $[0,l]$ 上积分，可得
$A_k l/2= \int_0^l \varphi(x)sin(k\pi x/l)dx$，即$A_k =(2/l) \int_0^l \varphi(x)sin(k\pi x/l)dx$ 同理可得 $B_k =(2/k\pi a) \int_0^l \psi(x)sin(k\pi x/l)dx$ 。
将 $A_kB_k$ 代入（13）可得方程B的解
$u_t(x,t) = \sum_{k=1}^\infty k\pi a/l(-(2/l) \int_0^l \varphi(x)sin(k\pi x/l)dx*sin(k\pi at/l) + (2/k\pi a) \int_0^l \psi(x)sin(k\pi x/l)dx* cos(k\pi at/l))sin(k\pi x/l)$