线性代数笔记 (一)

作者: 84e0f33044aa | 来源:发表于2019-02-14 22:15 被阅读0次

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[笔记] 线性代数
线性代数
1.1、方程组的几何解释

预备知识

全排列和对换

全排列

把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个元素的全排列 (简称排列) ．n 个不同元素的所有排列的种数, 通常用 $P_n$ 表示. 且有:
$P_n = n!$

逆序数

先规定各元素之间有一个标准次序. 当某一对元素的先后次数与标准次序不同时, 就说它构成 1 个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇 (偶) 数的排列叫做奇 (偶) 排列.

对换

定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性.
证明?

推论奇 (偶) 排列对换成标准排列的兑换次数为奇 (偶) 数.
证明? (标准排列逆序数为 0 , 是偶数列. )

行列式

行列式的定义

三阶行列式的定义

为给出 n 阶行列式的定义, 先研究三界行列式的结构. 三阶行列式定义为:

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array}\right|\\ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$

等式右边的每一项都是三个元素的乘积, 这三个元素不同行不同列. 因此, 每一项除正负号以外都可以写成 $a_{1 p_{1}}a_{2 p_{2}}a_{3 p_{3}}$ 的形式. 即每一项元素的第一个下标(行标)排为标准次序 123 , 第二个下标(列标)排为 $p_1 p_2 p_3$ 为 1, 2, 3 三个数的某个排列.

各项的正负号与列标的排列对照: 带正号的三项列标排列为 123, 231, 312 均为偶排列; 带负号的三项列标排列为 132, 213, 321 均为奇排列. 故:

$\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33} \end{array}\right| = \Sigma (-1)^t a_{1p_1} a_{2p_1} a_{3p_3}$

其中 t 为排列 $p_1 p_2 p_3$ 的逆序数.

n 阶行列式的定义

定义设有 $n^2$ 个数, 排成 n 行 n 列的数表

$\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}$

则 $n!$ 个形如 $(-1)^t a_{1 p_1}a_{1 p_1} \cdots a_{n p_n}$ 的项的和 $\Sigma (-1)^t a_{1 p_1}a_{1 p_1} \cdots a_{n p_n}$ 称为 n 阶行列式, 记作
$D = \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right|$

简记作 $det (a_{ij})$ , 其中数 $a_{ij}$ 为行列式 D 的 $(i,j)$ 元.

行列式的性质

特殊的行列式

三角行列式

主对角线以下 (上) 的元素都为 0 的行列式叫做上 (下) 三角形行列式; 特别主对角线一下和以上的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式.

下三角行列式
$D= \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22}& & \\ \vdots& \vdots& \ddots& \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right| =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
证明?

转置行列式

记:
$D= \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right| , D^T= \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{21}& \cdots& a_{n1} \\ a_{12}& a_{22}& \cdots& a_{n2} \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right|$

则行列式 $D^T$ 称为行列式 $D$ 的转置行列式.

性质

行, 列地位相同

性质 1 行列式与它的转置行列式相等.

证明?

性质 1 说明了行列式中的行与列具有同等的地位.

行 (列) 的对换

性质 2 对换行列式的两行 (列) , 行列式变号。

证明?

$r_i$ 表示第 i 行, $c_i$ 表示第 i 列, 对换 i, j 两行记作 $r_i \leftrightarrow r_j$ , 对换 i, j 两列记作 $c_i \leftrightarrow c_j$ .

推论如果行列式中有两行 (列) 完全相同, 则此行列式等于零.

行 (列) 的数乘

性质 3 行列式中某一行 (列) 中所有元素都乘同一数 k, 等于用数 k 乘此行列式.
$\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ ka_{i1}& ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \overset{r_i \div k}{=} k \left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$
性质 4 行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式等于零.

行 (列) 的加减

性质 5 若行列式中的某一行 (列) 的元素都是两数之和:
$D = \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{i1}+a_{i1}'& a_{i2}+a_{i2}'& \cdots& a_{in}+a_{in}' \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right|$
则:
$D = \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$
证明?

性质 6 把行列式的某一行 (列) 的各元素乘同一个数然后加到另一行 (列) 对应的元素上去, 行列式不变.
$\left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots& a_{in} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots& a_{jn}\\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right| \overset{a_{jn} + k a_{in}}{=} \left|\begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots& a_{in} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2}& \cdots& a_{jn}+ka_{in}\\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn} \end{array}\right| (i \ne j)$

证明?

行列式按行 (列) 展开

概念

余子式

在 n 阶行列式中, 把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 i 行和第 j 列划去后, 留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式, 记作 $M_{ij}$ .

代数余子式

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式.

展开

引理一个 n 阶行列式, 如果其中第 i 行所有元素除 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 外都为零, 那么这行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积, 即

$D = a_{ij} A_{ij}$

证明?

定理行列式等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即

$D = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3} + \cdots+ a_{in} A_{in} \ \ \ \ \ \ \ \ (i = 1, 2,\cdots , n)$

或

$D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + a_{3j} A_{3j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \ \ \ \ \ \ \ \ (j = 1, 2,\cdots , n)$

证明?

推论行列式某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

$a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} + a_{i3} A_{j3} + \cdots+ a_{in} A_{jn} = 0 \ , \ i \not= j$

或

$a_{1i} A_{1j} + a_{2i} A_{2j} + a_{3i} A_{3j} + \cdots+ a_{ni} A_{nj} = 0 \ , \ i \not= j$

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