用直尺和圆规三等分一个角

三等分一个角按照古希腊的尺规作图法是不可解的。下面这个作图法中要求圆规的离开纸面时能保持两只脚之间的长度不变。

作法一：

trisect-angle.png

作图步骤：

1. 将角AOB的一条边AO反向延长为OD；
2. 以O为圆心，任取长度r为半径作圆，与OB相交于E点；
3. 保持圆规张开的长度r不变，把圆规的两只脚贴在直尺上，让直尺通过E点旋转，使得圆规的一只脚在圆上，另一只脚在OD上，记OD上这一点为F点，圆上的这一点为G点。
4. 过EF做直线。

因为∠OFG=∠GOF，∠OGE=∠OEG=2∠OFG，
∠GOF+∠AOB=∠OGE+∠OEG，∠AOB=3∠OFG。
所以，角OFG是角AOB的三等分角。如果过O点作EF的平行线，可以将角OFG移到角AOB之内。

作法二：

trisect-angle2.png

作图步骤：

1. 在AO上取一点C，记OC的长度为a；
2. 过C点作CD垂直于OB，垂足为D点；
3. 过C点作CE平行于OB；
4. 以C为圆心，a为半径作圆，交OA于F点；
5. 将圆规的两脚置于OF，即张开的长度为2a；
6. 保持圆规张开的长度2a不变，把圆规的两只脚贴在直尺上，让直尺通过O点旋转，使得圆规的一只脚在CD上，另一只脚在CE上，记CD上这一点为G点，CE上的这一点为H点；
7. 取GH的中点I，连接CI。
   因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CI=GI=HI=a，又∠GOD=∠GHC=∠HCI，∠COG=∠OIC=∠GHC+∠HCI，∠COG=2∠GOD，所以∠GOD是∠AOB的三等分角。