确界存在定理（实数系连续性定理）

作者: 硕哒哒哒哒哒 | 来源:发表于2018-09-04 23:33 被阅读0次

确界存在定理（实数系连续性定理）
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Author: zfs

非空有上界的数集，必有上确界
非空有下界的数集，必有下确界

概念补充：

[x]: x的整数部分
(x): x的小数部分
$_Z$ : 整数集
$_R$ : 实数集
$_N$ : 自然数集
$_\forall$ : 对于任意的，对于每一个
$_\exists$ : 存在，可以找到
$_\in$ : 元素属于某个集合
$_\notin$ : 元素不属于某个集合
$_\subset$ : 集合的包含关系
上界: 集合 $S$ $\subset$ $R$ , $S$ 非空, $\exists$ $M$ $\in$ $R$ , $\forall$ $x$ $\in$ $S$ , $x$ $\leq$ $M$ ,称 $M$ 是 $S$ 的一个上界
上确界: 设 $U$ 是 $S$ 上界的集合，则 $U$ 没有最大数，但 $U$ 必定有最小数，记为 $\beta$ = $sup\ S$ ，称为 $S$ 的上确界（supremum）。另一种定义形式,若 $\beta$ 是 $S$ 的上界,对于 $\forall \varepsilon\gt0,\exists x\in S, \beta-\varepsilon\lt x,则\beta$ 为 $S$ 的上确界。

证：对于集合 $S$ 属于 $R$ ， $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界（确界存在定理，下确界类似）

我们知 $x$ $\in$ $R$ , $x$ =[ $x$ ]+( $x$ )( $x$ 由整数部分和其小数部分组成)
记 $a_0$ =[ $x$ ], $0.a_1a_2a_3…a_n…$ =( $x$ )

说明：

$x$ 如果是有限小数，则在其后面补上一列 $0$ ,使其成为无限小数
$0.a_1a_2a_3…a_p0000…$ = $0.a_1a_2a_3…(a_p-1)999999…$
( $a_p\neq0$ ,由 $1$ = $0.999999999…$ )

Start:

取集合 $U_0\subset S$ ,记 $S$ 中整数部分最大值为 $\alpha_0$
$U_0$ ={ $x|x\in S,x$ 的整数部分为 $\alpha_0$ }
有 $t\notin U_0$ ,则 $t\lt\alpha_0$
取集合 $U_1\subset U_0$ ,记 $U_0$ 中小数第一位最大值为 $\alpha_1$
$U_1$ ={ $x|x\in U_0,x$ 的第一位小数为 $\alpha_1$ }
有 $t\notin U_1$ ,则 $t\lt\alpha_0+0.\alpha_1$
取集合 $U_2\subset U_1$ ,记 $U_1$ 中小数第二位最大值为 $\alpha_2$
$U_2$ ={ $x|x\in U_1,x$ 的第二位小数为 $\alpha_2$ }
有 $t\notin U_2$ ,则 $t\lt\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2$
……
取集合 $U_n\subset U_{n-1}$ ,记 $U_{n-1}$ 中小数第 $n$ 位最大值为 $\alpha_n$
$U_n$ ={ $x|x\in U_{n-1},x$ 的第 $n$ 位小数为 $\alpha_n$ }
有 $t\notin U_n$ ,则 $t\lt\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2…\alpha_n$
进行下去……

有 $S\supset U_0\supset U_1 \supset U_2…U_{n-1}\supset U_n……$
取 $\beta$ = $\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2…\alpha_n……$
( $\alpha_0\in Z,\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n,……\in \{0,1,…,9\}$ )
则所取 $\beta$ 即为 $S$ 上确界。

证： $\beta$ 为 $S$ 上确界

1）：证 $\beta$ 为 $S$ 上界,即 $\forall x\in S,x\leq \beta$
2）：证 $\beta$ 为 $S$ 上确界，即 $\forall \varepsilon\gt0,\exists x\in S,\beta-\varepsilon \lt x$

证 1）:
对于 $x\in S$ ，则 $\exists n\in N,x\notin U_n$ 或者 $\forall n\in N,x\in U_n$

[1]对于 $\exists n\in N,x\notin U_n$
则 $x\lt \alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2…\alpha_n\leq\beta$
[2]对于 $\forall n\in N,x\in U_n$
有 $x=\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2…\alpha_n……$ ,则 $x=\beta$

由[1]、[2] 证毕1)

证 2）:
当 $\varepsilon$ 取定时，有 $\exists n_0\in N,\frac{1}{10^{n_0}}\lt \varepsilon$
取 $x=\alpha_0+0.\alpha_1\alpha_2…\alpha_{n_0}\in S$
则 $\beta-x=0.00…0\alpha_{n_0+1}\alpha_{n_0+2}……\lt \frac{1}{10^{n_0}}\lt \varepsilon$
即 $\beta-\varepsilon\lt x$

由上证毕2）

End;

综上，上确界存在定理得证。（下确界同法）

之所以确界存在定理又称之为实数系连续性定理:

若实数系不连续，则在数轴上会有一段间隙，有间隙即存在长度 $l$ ,有长度即存在 $\varepsilon\lt l$ ,使得 $\nexists x\in S,x\gt \beta-\varepsilon$ ,间隙左侧数集没有上确界，间隙右侧数集没有下确界，与确界存在定理矛盾，即实数系是连续的。

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证：对于集合 $S$ 属于 $R$ ， $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界（确界存在定理，下确界类似）

说明：

Start:

证： $\beta$ 为 $S$ 上确界

End;

之所以确界存在定理又称之为实数系连续性定理:

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