数学的发展从来都是由具体性问题开始一步一步的，往抽象阶段发展的，这也符合人类的认知过程。
往抽象阶段的发展过程中，不断的把严格条件、强条件逐渐放松，得出更广的结论来适应更广的应用范围。
一、实数完备性
反映了实数的连续性，彼此互为充要条件。
1、确界原理（若非空数集有上界或下界，则数集存在唯一上确界或下确界）
2、致密性定理（有界数列必有收敛子列）
3、闭区间套定理
4、有限覆盖定理（紧致性定理或者海涅-波莱尔定理），局部性质拓宽到整体，（若开区间集S覆盖闭区间s，则S中存在有限个开区间也覆盖了s）
5、聚点定理（数轴上无限点集至少有一个聚点）
6、柯西收敛准则（完备性定理）
二、闭区间连续函数性质
下面4条定理建立在实数的连续性基础上
1、零点定理
2、有界性
3、最值性
4、一致连续性，一致连续 也称为 均匀连续,
一致连续是比连续强得多的条件。
三、微积分性质
1、费马定理（极值点处导数为0）
2、洛尔定理（拉格朗日定理特例）
3、拉格朗日定理（微分学最重要定理之一）
1、微分中值定理包括洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。是沟通函数与导数的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要工具。
2、从费马定理可以推导出洛尔定理，进而推导到拉格朗日中值定理与柯西中值定理。由柯西中值定理又可以进一步推导出泰勒展开公式（用多项式函数逼近任意函数）。
3、利用拉格朗日中值定理可以对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。
4、导函数可能有间断点，但是具有介值性（达布介值定理），而间断点只能是第二类间断点，不能有第一类间断点，否则导函数不具有介值性。
5、泰勒公式
多项式函数是最简单的一种初等函数，包含加减乘三种运算，如果其他复杂函数能用多项式函数近似表示，误差又能满足要求，则对函数性态研究和函数值的近似值计算将带来巨大的帮助。
1、什么样的函数可以用多项式函数近似表示；
2、多项式的各项系数与函数又有什么联系；
3、多项式函数值近似代替的函数值，其误差又是多少。
4、泰勒余项
5、皮亚若余项（余项的定性描述）
6、拉格朗日余项（余项的定量描述，计算误差使用）
7、柯西余项（余项的定量描述，计算误差使用）
8、泰勒中值定理
1、连接函数和高阶导数的桥梁工具就是泰勒公式
参考：
1、一致连续通俗理解
2、数学分析-刘玉莲
3、数学分析-张筑生
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