级数，极限无限概念的运用。
一、数值级数性质
1、收敛级数满足结合律，但一个级数的项经过结合后的新级数收敛，去掉括号后，级数不一定收敛。
2、同号级数，级数每项的正负同号
2.1、单调有界数列存在极限，比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法
2.2、柯西判别法和达朗贝尔判别法都是以比较判别法为基础，与几何级数比较所得。但是当项的某些运算极限等于1的时候，判别法将会失效。此时需要比几何级数
收敛速度更慢的同号级数作为比较的标准，一般选择广义调和级数作为比较标准。
3、广义调和级数，即P-级数，p<=1时发散，p>1收敛
4、变号级数，重点考虑交错级数
4.1、绝对收敛、条件收敛，级数的绝对收敛可以归结为判别
同号级数的收敛性4.2、莱布尼茨判别法、阿贝尔变换、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法
莱布尼茨判别法仅仅是狄利克莱判别法的特殊情况
4.3、一般情况下，收敛级数不满足
交换律和分配率；条件收敛级数有更一般的的结果：黎曼定理，即对于条件收敛级数，任意实数a，通过适当交换级数的项，使得级数收敛于a。4.4、绝对级数满足交换律
虽然级数的条件收敛和绝对收敛都是收敛，但是二者的收敛机制是不同的。条件收敛级数之所以收敛，是因为按原有级数的各项顺序，正项和负项互相抵消了，从而使部分和数列收敛与项的位置有关，因此条件收敛级数不满足交换律。绝对级数之所以收敛，是因为其项的绝对值趋近于0的速度达到了收敛的要求，从而使部分和数列收敛与项的位置无关，因此满足交换律。
二、函数级数性质
1、对于任意一点a，函数级数都有一个对应的数值级数，其敛散性可使用数值级数的判别法。
2、函数级数在点a收敛或发散，则称点a为函数级数的收敛点或发散点。
3、函数级数收敛点的集合成为函数级数的收敛域，若收敛域为区间则称收敛区间。
4、一致收敛性
通过函数级数的每一项的连续性、可微性和可积性来研究函数级数的连续性、可微性和可积性，亦即通过局部研究整体。
在什么条件下，函数级数的每一项所具有的分析性质，其函数级数和也具有同样的分析性质，且函数级数的每项积分、极限、导数之和等于函数极限的积分、极限、导数。
4.1、柯西一致收敛准则、M判别法、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法
4.2、能够使用M判别法的函数级数必然绝对收敛。
4.3、如果条件收敛的函数级数，其可使用狄利克莱判别法和阿贝尔判别法
5、函数列的一致收敛性 柯西一致收敛准则
函数级数与函数列只是形式不同，没有本质区别。
6、函数级数一致收敛
函数级数在一致收敛条件下，其分析性质（极限、可微、可积）可以与无限和运算交换次序。
三、幂级数性质
1、幂级数的分析性质
2、将函数展开成幂级数的条件和展开公式
3、阿贝尔第一定理：指出幂级数的收敛点和发散点在数轴上不能混杂交错出现
4、收敛半径，幂级数的收敛半径有幂级数系数所决定
5、阿贝尔第二定理：虽然幂函数在收敛起区间不一定一致收敛，但是在收敛区间的任意闭区间都一致收敛，被称为内闭一致收敛性质
6、幂函数的性质
6.1、收敛域是以原点为中心的区间（可能开区间、半开半闭、闭区间，特殊情况可能是R或退还为原点）
6.2、在收敛开区间内闭一致收敛
6.3、幂级数在收敛区间连续
6.4、幂级数在收敛区间可积，且逐项可积；其在0到x的积分，收敛域半径与原幂级数收敛半径相同
6.5、幂级数在收敛区间可导，且逐项可微；逐项微分得到的幂级数的收敛半径与原幂级数收敛半径相同
四、泰勒级数性质
1、如果函数能展成幂级数，那么幂级数的系数与此函数是什么关系
2、什么条件下函数可以展成幂级数
3、二项式展开公式
4、幂级数应用：数π的近似计算、数e的近似计算、对数的近似计算、表示非初等函数
5、指数函数的分析定义，幂级数就是定义指数函数和三角函数的一个分析工具
五、傅里叶级数性质
1、三角函数的正交性
2、对于区间[-π， π]，有三个问题需要确认
2.1、函数在区间的傅里叶级数是否收敛
2.2、如果函数的傅里叶级数收敛，是否收敛到函数本身
2.3、在什么条件下，才能满足2.1、2.2条件
2.4、黎曼引理
3、逐段连续、逐段光滑
3.1、逐段连续：函数在区间只有有限的第一间断点
3.2、逐段光滑：函数的一阶导数在其区间也是逐段连续的
3.3、逐段光滑的函数是可积的
3.4、以2π为周期的逐段光滑函数是可以展成傅里叶级数的，是展成傅里叶级数的充分条件
3.5、可展成傅里叶级数的函数（逐段光滑）要比可展成幂级数的函数（存在任意阶导数）要广泛很多，条件减弱了很多。
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