从白马非马问题到集合论基础（一）

作者: 东方胖 | 来源:发表于2022-01-08 23:41 被阅读0次

白马非马问题

白马非马命题来自先秦公孙龙的《白马非马》
原文：

“白马非马，可乎？”曰：“可。”
　　曰：“何哉？”曰：“马者，所以命形也。白者，所以命色也。命色者，非命形也，故曰白马非马。”
　　曰：“有白马，不可谓无马也。不可谓无马者，非马也？有白马为有马，白之非马，何也？”
　　曰：“求马，黄、黑马皆可致。求白马，黄、黑马不可致。使白马乃马也，是所求一也，所求一者，白者不异马也。所求不异，如黄、黑马有可有不可，何也？可与不可其相非明。故黄、黑马一也，而可以应有马，而不可以应有白马，是白马之非马审矣。”
　　曰：“以马之有色为非马，天下非有无色之马也。天下无马，可乎？”
　　曰：“马固有色，故有白马。使马无色，有马如已耳，安取白马？故白者非马也。白马者，马与白也；马与白马也，故曰：白马非马也。
　　曰：“马未与白为马，白未与马为白。合马与白，复名白马，是相与以不相与为名，未可。故曰：白马非马，未可。”
　　曰：“以有白马为有马，谓有白马为有黄马，可乎？”曰：“未可。”曰：“以有马为异有黄马，是异黄马于马也。异黄马于马，是以黄马为非马。以黄马为非马，而以白马为有马；此飞者入池，而棺椁异处；此天下之悖言乱辞也。”
　　曰：“有白马，不可谓无马者，离白之谓也。是离者有白马不可谓有马也。故所以为有马者，独以马为有马耳，非有白马为有马。故其为有马也，不可以谓马马也。白者不定所白，忘之而可也。白马者，言定所白也。定所白者，非白也。马者无去取于色，故黄、黑皆所以应。白马者，有去取于色，黄、黑马皆所以色去，故唯白马独可以应耳。无去者非有去也。故曰：白马非马。”

简单分析一下这篇著名的白马非马的文章的要点。

首先，公孙龙抛出白马非马的论点。
他的理由是，马是“命形”的，白马是“命色”的，所以白马非马。用我们的话大概就是说，白马有颜色，马没有颜色，所以白马不是马。
辨者说，当我们说这里有一匹白马，也就可以说这里有一匹马。怎么能说白马非马呢？
公孙龙观点，如果说有白马就是有马，那么我们显然不能说有白马就是有黄马，有马不能说有黄马，说明黄马不是马，既然黄马不是马，而说有白马就是有马，这矛盾了。

简要提炼一下用

已知黄马，黑马都是马，但黄马、黑马不是白马，如果白马是马，那么既然黄马、黑马不是白马，那么黄马、黑马也不是马，矛盾。
看起来有点道理。

公孙龙当年以白马非马的命题辩赢稷下学宫。今天来看，实际上也没那么玄乎。其逻辑是没有问题的，关键在于词汇的界定，是非的含义在古时含糊不清，故被钻了空子。

我们完全可以用集合论的语言描述一下公孙龙的核心论点。

白马不是马，这里的是等于数学符号 $=$
白马是马，即文中说的，有白马不可谓无马，故白马不可谓非马。这里的"是"等于数学符号 $\in$ , 非对应 $\notin$

以上论点翻译成集合论就是，马是一个集合，白马是集合的一个对象，所以白马不是马，因为白马不是集合。
反驳方：那么我们说这里有一匹白马，也能说这里有一匹马，这说明白马属于马。

有了集合论，白马非马的命题就很明晰了，首先马可以当成一个由各种颜色的所有马组成的一个集合。白马是其中一个对象。当年输给公孙龙的辨者大概自己混淆了是与属于的概念，或者没有意识到这里有根本的区别，故而没有坚持用“属于”观坚守立场。
从集合论出发，再看白马非马：

白马不属于马，这个命题是不对的；
白马属于马，这个命题是对的；
白马 $=$ 马，这个命题不对；
白马 $\neq$ 马，这个命题是对的。

集合论基础

什么是集合

我们可以看到沿着白马非马的论题继续深入，很有可能发展出一套古典的集合论，但是中国随后进入了大一统的专制治乱循环，几乎与逻辑学绝缘，再无突破，现代集合论是到了十九世纪由康托奠基的。

集合可以粗略地定义为一堆对象无序地凑在一起构成的东西，这是一个抽象概念，恰如马实则是人类头脑中的一个概念，当一匹具体的马出现在人们眼中时，它是集合里一个具体的对象。
集合不关心对象之间是怎么堆叠的，反正在概念上，“在一起”就行了。

具体的马称为“对象”，视为集合的一个成员。当我们思考问题时，几乎可以把任意具体的东西“放在一起”构成一个“集合”。

如果一个对象 $x$ 被我们“放进”一个集合 $A$ 中，我们就说 $x \in A$ ，否则，就说 $x \notin A$

这个定义基本可以解决“白马非马”这种日常争端了，但对于数学还不够。
还有一些问题需要回答：

一些苹果和世界上所有的马二者有什么不同？
什么东西才能“放”到我们头脑中的那个集合里？
北方人和南方人两个“集合”能不能合并在一起，怎么合并？能否从中选出一些具有某种特征的对象组成另一个集合——这事关集合内部运算的定义

集合的公理化定义

公理1. 集合是对象。 即如果 $A$ 是一个集合，那么 $A$ 也是一个对象。
对象是不是集合，一般来说，不把一般的对象，比如自然数 1 , 2, 3, ... 看成是一个集合。也可以看成是，一种看法是，将 0 看成是 ∅，1看成 {0}, 2 等价于
{0,1,2} , 3 看成是 {0 1 2}

相同的集合
集合对于对象的次序无关紧要，如何定义两个集合是相同的，直观地看，如果两个集合包含的对象在次序无关的情况下是相同的，那么这两个集合就是相等的。但是这个说法不太“数学”，这个定义在推理中不太好用，我们要有逻辑化，数学化的定义。更进一步，一般我们说集合相等，其元素是互相隶属的，即这个甲集合的元素或对象也是一集合的元素。

谈谈数学审美。
数学概念常常有各种各样的定义，比如大学时代学习的极限理论，它的定义是经典的 $\epsilon-\delta$ 语言，这个定义从牛顿莱布尼兹创立微积分以来，历经欧拉再到拉格朗日，再到柯西，才逐渐成型。期间出现过一些其它的定义，但是它不是好的定义。一个概念的定义的美，一般涉及到定义对于推理的易用性，是否触及到本质，以及形式美感。
其中，本质的揭示是最重要的，其次是易用性，如果一个定义在数学逻辑推理中如鱼得水，那么它至少会被经常使用。反之，它不是一个好的定义。
以下对于集合相等的定义就是一个典型的例子。它的定义里就很明确地建立了一条从直观到数学语言转化的桥梁。

定义集合相等，两个集合 $A$ , $B$ 是相等的 $A = B$ ，当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，并且 $B$ 的每个元素都是 $A$ 的元素。
即，对 $\forall x \in A , x \in B , 且 \forall y \in B ,有 y \in A$

相等的概念的自反，传递和对称的。
也就是：

若 $A = B$ , 则 $B = A$
对每个集合 $A$ , $A = A$
若 $A = B , B = C$ , 则 $A = C$

集合的公理化定义将会回答哪些东西是集合，哪些不是，类似于自然数的序数公理化的技巧。集合也可以从一个空集开始。

公理 2. 存在一个空集 $\emptyset$ ，它是集合。它不含任何元素。也就是说对任意的 $x, x \notin \emptyset$ .

公理 3. 如果 $x$ 是一个对象，那么存在集合 $\{ {x} \}$ , 它的唯一元素也是 $x$ ；二元集情形，如果 $x, y$ 是对象，那么存在唯一的集合 $\{{x}, {y}\}$ .
公理3 是关于集合怎么从空集进行进一步的扩充，由于承认了空集的存在，如果任何对象的单元集存在，公理 1说集合是对象，那么我们可以据此构造一个这样的集合 $\{\emptyset\}$ , 承认二元集合存在， $\emptyset$ 不是 $\{\emptyset\}$ ，因而可以构造二元集 $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ .

对每个元素 $x$ 构成的单元集 $\{ {x} \}$ ，它是惟一的, 假设还有一个 $x$ 生成的单元集 $A$ , 由于 ${x} \in A$ , 且 ${x} \in \{ {x}\}$ , 故由集合相等的定义， $A=\{x \}$ 。
$x, y$ 构成的二元集合 $\{ {x},{y}\}$ , 也是唯一的，二元集的一个特别情况: $\{{x},{x}\} = \{ {x} \}$ 实际上包含了单元集公理。

公理2-3可以构造一些集合: $\{\emptyset\}$ , $\{1, \{2,3\}\}$ , 可否不断地针对 $n \geq 3$ 的情形定义下去.
问题：公理4是不是三元集，四元集，... ，？当然可以一直构造下去。如果这么搞的话，就显得太笨拙了。老子曰：一生二，二生三，三生万物。公理 3 可以比喻成从无到有，从一到二，如果要有一个”三生万物“的公理帮助我们任意扩充集合大小，那么显然不需要啰嗦地继续构造叁元集。

这样的公理就是并集公理和无穷公理

公理4 (并集公理) 两个集合 $A, B$ , 存在它们的并集， $A \cup B$ , 其元素由属于 $A$ 或属于 $B$ 的一切元素组成。
并集公理使得我们可以构造大量的集合。

对于并集公理和二元集公理，我们可以构造一些很大的集合。设自然数 $n \geq 1$ 是任意的一个自然数, 那么由二元集公理我们知道存在集合 $\{2{n}-1, 2{n} \}, {n} \in \mathbb{N}$ , 对这组集合依次利用并集公理合成一个集合，由于内部的元素两两不同，它将会包含 $2{n}$ 个元素

问题：是否可以利用并集公理构造无限大的集合？如果以上的重复取并集被严格定义的话，似乎是可以的。但是好像还得说点什么，从公理1-4，我们完成了“无到有，一到二，二到很多”的过程，但是“三生万物”——我们把道德经里的万物看成是无穷的话——还缺少一座桥梁。

公理5 (无穷公理) 存在一个集合 $\mathbb{N}$ , 它包含空集 $\emptyset$ , 并且如果 ${x}$ 是 $\mathbb{N}$ 的成员，那么 ${x} \cup \{{x}\}$ 也是 $\mathbb{N}$ 的成员
这个无穷公理可以看成是自然数集从基数角度的定义，Peano 有关于自然数五条公理的序数定义，其中地归纳原理与无穷公理有一定的对应和联系——这是一座架向无穷的大桥。

无穷公理直接承认了无穷集合 $\mathbb{N}$ 的存在。

现实的物理世界到底是无限还是有限的还是一个未知领域，在数学殿堂里，集合论的公理体系，隐晦地承认了无穷的事实。

自然数集合能否提取一个奇数集合。我们一般的直觉这个是显然可以做到的，如 $\{{1}, {2}, {3}, ... , {2}{k} + {1}, ..., \} \subseteq \mathbb{N}$ ，公理 6 叙述的类似是这个事情。

公理6 (分类公理或分离公理) $A$ 是一个集合，对每个 ${x} \in A$ , 假设 $P({x})$ 是关于 ${x}$ 的一个性质，它或真，或假，那么存在一个集合 ${X} = \{ {x} \in A: P({x})成立 \}$ , 简写成 ${X} = \{ {x} \in A: P({x}) \}$ , 集合 ${X}$ 的元素恰好是 $A$ 中使得 $P({x})$ 成立的 ${x}$ .