认识复数

作者: 巴之丛林 | 来源:发表于2020-01-22 22:30 被阅读0次

认识复数
第一章：向量空间
项目二：复数抽象数据类型
复数的基本概念
1.4 复数Peview of complex number
今天是整理笔记的一天
复数
复数
复数
复数

复数（complex number）的一般代数形式为： $x + i\cdot y$ ，在数学领域常用 $i$ ，并有 $i^2 = -1$ ，而在信号处理等工程应用领域习惯用 $j$ ， $x$ 为实部， $y$ 为虚部。

1.复数的由来和内涵

从数的发展来看，从开始的自然数、整数、小数、实数到复数，每次升级发展都扩大了数的范围同时也增加了数可以表示的实际意义。复数的引入是为了在代数上增加数的维度，从一维的直线扩展到二维的面上进行取数，类似几何上的用 $（x, y)$ 来取点，同时又可以保持复数运算的二维特性，不需要额外处理包含的几何意义。

复数实现了二维的扩展靠的是引入 $i$ ，它代表了虚数轴，而虚数轴和实数轴为正交 $90^\circ$ 的角度关系，在信号处理领域称为相位，这样 $i$ 就为实数带来了角度（相位）的信息，并通过虚数的大小和正负来调整相位大小。比如 $1 \cdot i^2 =-1$ 可以理解为单位向量 $1$ 逆时针旋转了 $90^\circ$ 两次，第一次旋转到虚数轴，第二次旋转到了实数负轴 $-1$ 的位置（向量的乘法代表着旋转和拉伸）。

2.复数的用途

复数也用角度 $\theta$ 和模（长度）来表示为： $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ，其中 $r=\sqrt{x^2 +y^2 }$ ， $\theta$ 为 $r$ 和 $x$ 的角度（相位）。这样就转换为三角函数形式了，三角函数里面的正弦和余弦曲线是在工程应用领域比较好处理的信号，自身也有比较好的数学特性比如 $e^{i\theta} =\cos \theta+i\sin \theta$ ，这样就转换为了复数的极坐标形式 $re^{i\theta }$ ，表达了旋转和周期性质。

在信号处理领域，复数的比较经典的用法是做傅立叶变换（Fourier Transform, FT）: $F(\omega )=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$ ，其中 $\omega$ 为角频率， $t$ 为时间。对应的离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）为： $X[k]=\sum\nolimits_{0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$ ，在此处我们看到复数的模 $r=1$ ,相位 $\theta =2\pi kn/N$ ，即 $x[n+1]$ 相对 $x[n]$ 发生了 $2\pi k(n+1)/N-2\pi k(n)/N$ 的相位变化量。