从直觉理解高微中的拟凹函数

效用函数和生产函数都假设是拟凹的，这样一来，最优解就是唯一的！那么，什么是拟凹呢？

以最大值为例。如果函数是严格凹的，那么函数的图像是一个山峰。这个山峰需要满足，任意两点凸组合处的函数值严格大于两点函数值的凸组合。

从直觉理解高微中的拟凹函数

如这个图上半部分就是严格凹的函数。严格拟凹是需要两点的凸组合处的函数值大于较低点处的函数值，如图下半部分，这里的图像像是一个倒扣的钟（出自蒋中一数理经济学基本方法），钟的开口处向内凹进！

从直觉理解高微中的拟凹函数

可以证明，拟凹函数等价于上优集是凸集。因为凸集允许直线，所以拟凹函数的上优集可以出现直线。但是，严格拟凹函数要求消费束xt的效用严格大于端点处的效用，所以就排除了直线的可能性。

所以，严格拟凹有一连串的结论：

无差异曲线严格凸向原点

边际替代率递减

效用最大化有唯一解，解是马歇尔需求。

这三个结论是完全等价的。

在更严谨的分析中，还假设了消费集是紧集，这个性质其实不是非常要紧。类似的，在生产论中，如果生产函数是严格拟凹的，那么成本最小化有唯一解，解是条件要素需求。我们常用的CES生产函数因为是齐次函数，所以它们还是严格凹函数（参见Jehle Reny定理3.1），但是成本最小化只要求技术是拟凹的。

从优化理论上看，严格凹函数与无约束最优化时取得全局最优解的二阶条件相关，严格拟凹函数与约束最优化时的二阶条件有关。可以查阅任意数理经济学的课本，或者Reny，Nicolson的数学预备部分。