线性代数笔记17

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-02-14 23:31 被阅读1次

第十七节

正交基正交矩阵

标准正交基 orthonormal basis

$q_iq_j=\left\{ \begin{aligned} 0 \quad if \quad i\neq j \\ 1 \quad if \quad i=j \end{aligned} \right.$

设 $Q=[q_1 q_2 ...q_n]$
则 $Q^TQ=\begin{bmatrix}1&0&\cdots\\0&1&\cdots\\0&0&\ddots \end{bmatrix} =I$ 即，单位矩阵

只有当正交点积非0即1的时候，才是称为正交矩阵（虽然是标准正交，如果都是正交的，但是不能形成单位矩阵，则不叫正交矩阵）

Q就表示标准正交列向量的矩阵

假设要投影到列空间中， $P=Q(Q^TQ)^-1Q^T=QQ^T$

十五节提到的 $A^TA\hat x=A^Tb$
如果 A=Q
则有 $\hat x=Q^Tb$
非常重要
即 $\hat x_i=q_i^Tb$
即如果已知标准正交基，在第i个基方向上的投影就等于 $q_i^Tb$
需要求的就是 $\hat x$ ，就是一个数量积而已

格拉姆-施密特正交化方法（Graham-schmidt calculation）

已知a，b两个线性无关的向量
方法即是，通过a，b，得到两个正交的向量A，B，然后就可以得到标准正交的向量 $q_1=\frac{A}{||A||}$ , $q_2=\frac{B}{||B||}$

1,我们认可a的方向，即a=A
（用到前面的投影的知识，e向量，就是A的误差向量，就是正交于a的向量）
2， $B=b-p=b-\frac{A^Tb}{A^TA}A$
就得到了B

那么有三个向量呢？
已知a，b，c三个线性无关的向量
通过上面，可以求得A，B
则 $C=c-\frac{A^Tc}{A^TA}A-\frac{B^Tc}{B^TB}B$
即c分别减去A和B方向上的投影（即AB方向上的分量，则就垂直了）

例子 $a=A=[1,1 ,1]^T,b=[1, 0, 2]^T$
则 $B=b-\frac{A^Tb}{A^TA}A=[1, 0, 2]^T-3/3[1, 1, 1]=[0, -1, 1]^T$
$Q=[q_1 q_2]=\begin{bmatrix}1/\sqrt{3}&0\\1/\sqrt{3}&-1/\sqrt{2} \\1/\sqrt{3}&1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$

原矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\1&2 \end{bmatrix}$
则 $A=QR$
R是一个上三角矩阵

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