1. 平均值，标准差，期望: 均值

作者: 路人乙小明 | 来源:发表于2019-03-20 09:19 被阅读0次

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1. 均值：平衡点

数理统计初级教程这本书里，对于平均值有一个非常形象的比喻：

比如说现在有这么10个数据：2，4，5，8，2，3，5，6，8，2

然后把这些数据按照从小到大依次排列在数轴上面。第一个数据是2，我们就在2这个位置放一个小方块，然后是4，我们在4这里放一个小方块，以此类推。于是10个数字放完以后，2这里有3个方块，3这里有1个，4这里有1个，5这里有2个，6这里有1个，8这里有2个，总共刚好是10个。

那现在假如每个小方块的重力都是1个单位，那我们应该在哪个地方放一个支点才能保证这个数轴是平衡的呢？我们都知道杠杆原理是吧，力的大小乘以力臂就是力矩了。比如说现在支点放在4.5这里，那么2这里有3个方块，力是3，力臂是 $（2-4.5）=-2.5$ ，而对于3，方块有一个，力是1，力臂是 $(3-4.5)=-1.5$ ，把全部的方块加起来可以得到下面的式子：

$(2-4.5)*3+(3-4.5)*1+(4-4.5)*1+(5-4.5)*2+(6-4.5)*1+(8-4.5)*2$

最后算出来，刚刚好，是0，所以在4.5左边和右边的力矩相同，这个天平平衡了。而如果我们用常规的求平均值的方法算一下的话：

$\bar{x}=\frac{\sum{x}}{n}=\frac{2+4+5+8+2+3+5+6+8+2}{10}=\frac{2*3+3*1+4*1+5*2+6*1+8*2}{10}=4.5$

原来均值就是4.5。而且，到了 $2*3+3*1+4*1+5*2+6*1+8*2$ 这里是不是就跟上面求力臂的式子很像了呢？

也就是说，均值相当于一组数据中，各个数字以数量加权以后（ $\sum{x_n*频数_n}$ ）的均衡位置。

而关于 $\sum{x_n*频数_n}$ 的这种表述我们很快还会看到。

2. 均值的几个性质

从上面力臂那个例子可以看出来，所有的项，对均值的差，这些差加起来，和等于0

$\sum{(x-\bar{x})}=0$ （1.1）

接下来为了演示的方便，我们主要看这一组数据3,5,7。很明显，这组数据的平均值是5，于是有

$(3-5)+(5-5)+(7-5)=0$

如果给上面这组数据每个数字加上3，新的一组数据的平均值是 $\frac{6+8+10}{3}=8$ , 而 $8=5+3$ ，实际上对于 $x_1, x_2, ... x_n$ ，每一个项都加上常数c以后，有新的均值等于

$\frac{\sum{x+c}}{n}=\frac{\sum{x}+nc}{n}=\frac{\sum{x}}{n}+c=\bar{x}+c$ （1.2）

也就是原来的平均值 $\bar{x}$ 加上c。这里还有另外一些东西：首先 $\sum{a+b}=\sum{a}+\sum{b}$ ，然后当c是常数的时候， $\sum{c}=nc$ ，后面这些性质还会反复的用到。

如果给3,5,7这组数字都乘以一个常数2，则新的平均值是 $\frac{6+10+14}{3}=10$ ，也就是原来平均值5乘以常数2等于10。同样，对于 $x_1, x_2, ... x_n$ ，每一个项都乘以常数c以后，有新的均值等于

$\frac{\sum{cx}}{n}=\frac{c\sum{x}}{n}=c\bar{x}$ （1.3）

对于求和 $\sum{cx}=c\sum{x}$ ，常数系数可以提取出来。

注：本篇主要来源于《数理统计初级教程》

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