函数的“不可积”问题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-12-31 15:09 被阅读0次

函数的“不可积”问题
可积但不可求积超
狄利克雷卷积和莫比乌斯反演
高等数学公式2
BI技巧丨粒度切换
激活函数和损失函数
连续函数的运算与初等函数的连续性
Excel203 | VLOOKUP函数使用方法之小成篇——多行
避免产生笛卡尔积
2020-12-18

函数的“不可积”问题

这里的“不可积”指的是原函数不能表示成初等函数的形式

常见的“不可积”的例子

三角积分类

$\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{\cos x}{x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{\tan x}{x^n},\;\int x^n\tan x\text{d}x$

$\displaystyle\int\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^n\text{d}x,\;\int\left(\dfrac{x}{\cos x}\right)^n\text{d}x,\;\int\left(\dfrac{x}{\tan x}\right)^n\text{d}x$

菲涅尔积分类型

$\displaystyle\int\sin x^2\text{d}x,\;\int\cos x^2\text{d}x,\;\int\tan x^2\text{d}x$

贝塞尔积分

$\displaystyle\int\cos(x\sin x)\text{d}x$

Laplace 积分

$\displaystyle\int\dfrac{\cos\beta x}{1+x^2}\text{d}x$

高斯积分类

$\displaystyle\int e^{ax^2+bx+c}\text{d}x$

$\displaystyle\int x^ne^{ax^2+bx+c}\text{d}x$

指数积分类型

$\displaystyle\int\dfrac{e^{ax}}{x}\text{d}x,\;\int\dfrac{e^{ax}}{a+x^n}\text{d}x,\;\int\dfrac{x^n}{1\pm e^x}\text{d}x$

对数积分类型

$\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{\ln x},\;\int\dfrac{\ln x\text{d}x}{1+x^2},\;\int\ln\sin x\text{d}x,\;\int\ln\cos x\text{d}x,\;\int\ln\tan x\text{d}x$

$\displaystyle\int\ln(a+b\sin x)\text{d}x,\;\int\ln(a+b\cos x)\text{d}x,\int\ln(a+b\tan x)\text{d}x$

$\displaystyle\int\ln\ln\sin x\text{d}x,\;\int\ln\ln\cos x\text{d}x,\;\int\ln\ln\tan x\text{d}x$

椭圆积分类

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\text{d}x,\;\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}\text{d}x$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1\pm x^n}}\text{d}x,\;\int\sqrt{1\pm x^n}\text{d}x\;(n\geqslant3)$

常见的特殊函数

Beta 函数

$\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text{d}x=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\;(p,q>0)$

Gamma 函数

$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\text{d}x,\;(s>0)$

误差函数

$\displaystyle\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-x^2}\text{d}x$

互补误差函数

$\displaystyle \text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x$

zeta 函数

$\displaystyle\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^s}$

狄拉克雷 eta 函数

$\displaystyle\eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)$

多重对数函数 Polylog

$\displaystyle\text{Li}_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k^n}$

果然考试周就是不务正业

还有超几何分布函数，惠特克函数，贝塞尔函数，椭圆函数

更多的特殊函数可以参考特殊函数概论(王竹溪)

函数的“不可积”问题
函数的“不可积”问题这里的“不可积”指的是原函数不能表示成初等函数的形式常见的“不可积”的例子三角积分类菲...
可积但不可求积超
在求解不定积分时候，有一类“可积但不可求积”的函数：我积不出来的函数，都属于这类函数。俗称积不出来这个题，应该是...
狄利克雷卷积和莫比乌斯反演
积性函数定义一个数论函数f，，有，那么称f为积性函数。一个数论函数f，对于，有，那么称f为完全积性函数其中数...
高等数学公式2
f(x) 是被积函数dx 是积分变量f(x)dx 是被积表达式C 是任意常数求不定积分，就是求被积函数的原函数...
BI技巧丨粒度切换
白茶在很久之前，写过关于笛卡尔积的两个函数。 GENERATE函数与CROSSJOIN函数。传送门：《笛卡尔积》...
激活函数和损失函数
3.1 激活函数关于激活函数，首先要搞清楚的问题是，激活函数是什么，有什么用？不用激活函数可不可以？答案是不可以...
连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数和和、差、积、商的连续性定理1 设函数和在点连续，则它们的和（差）、积及商(当)都在点连续。 ...
Excel203 | VLOOKUP函数使用方法之小成篇——多行
问题来源我们在用VLOOKUP函数查找数据时候，不可能都像昨天讲过的Excel202 | VLOOKUP函数使用...
避免产生笛卡尔积
在写SQL的时候，复杂到一定程度不可避免的会出现多个连结，此时特别容易产生笛卡尔积。若外层的聚合函数是count(...
2020-12-18
往昔不可忆，忆则成相思，相思不可积，积则化苦海，苦海不可渡，渡则亦轮回，轮回不可转，转则奈若何，奈何，奈何，昔者断...

函数的“不可积”问题

函数的“不可积”问题

常见的“不可积”的例子

三角积分类

菲涅尔积分类型

贝塞尔积分

Laplace 积分

高斯积分类

指数积分类型

对数积分类型

椭圆积分类

常见的特殊函数

Beta 函数

Gamma 函数

误差函数

互补误差函数

zeta 函数

狄拉克雷 eta 函数

多重对数函数 Polylog

相关文章

函数的“不可积”问题

可积但不可求积超

狄利克雷卷积和莫比乌斯反演

高等数学公式2

BI技巧丨粒度切换

激活函数和损失函数

连续函数的运算与初等函数的连续性

Excel203 | VLOOKUP函数使用方法之小成篇——多行

避免产生笛卡尔积

2020-12-18

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读