平行四边形的性质与判定

我们在探究一个平面图形时，往往会从它的定义出发，然后对性质和判定进行猜想，随后进行证明，若得到的结论成立，那就是我们新探究出来的性质及判定定理（性质与判定是互逆的哦），当然如果结论不成立，那只能证明我们这个猜想是一个假命题了。

一学到平行四边形，我们就为它的性质有猜想，但是不跟不经过证明他们就只是猜想。在证明它的性质定理何以为真之前，我们要先来明确一下平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形为平行四边形。其实呢，定义也可以作为性质和判定，我们先来看性质。如图所示：

定义推出的性质

然后我就对平行四边形的性质和判定进行了一些猜想。为什么我会有那些猜想呢，有一部分是因为几何直观，还有一部分是因为几何变换。我知道点动成线，线动成面，所以说平行四边形其实是由线段平移而成的，那么根据平移后对应边相等，且平移的距离也相等，这样平行四边形的对边不都应该相等吗？那根据它的逆命题也可以推出，因为这个四边形的对边相等，所以它是一个平行四边形嘞？还有因为平移后的对应边也是平行的，所以我也可以根据这个四边形的一组对边平行且相等，就推出这个四边是平行四边形嘞？然后，我也知道平行四边形是一个中心对称图形，所以说把这个图形绕对称中心——也就是对角线的交点旋转一百八十度以后，它会与自身重合，那么不就是说它的对角应该相等，而且它的对角线应该互相平分了吗？反之，我知道这个四边形的对角相等，或者说我知道这个四边形的对角线互相平分，那我也可以证明它是一个平行四边形嘞？不管怎么样，在证明之前可都不能下定论。

那我们就来看我们的第一个猜想：平行四边形，对边相等。

平行四边形对边相等

其次是我们的第二个猜想：平行四边形，对角相等。

平行四边形对角相等

最后一个关于性质的猜想，便是平行四边形对角线互相平分。

平行四边形对角线互相平分

研究完了性质，接下来就是它的逆命题——判定需要证明了。我们在开头说过，定义也可以作为性质，实际上，定义除了作为性质，也可以作为判定。

定义推出的判定

然后，我们来看看我们对于判定的猜想，首先，与性质对应着：两组对边分别相等的四边形为平行四边形。

两组对边分别相等的四边形为平行四边形

对角相等的四边形为平行四边形。

对角相等的四边形为平行四边形

但是这里要注意一点，对角相等的四边形的确为平行四边形，但是我们并不把它作为一个判定定理，定理也不是越多越好呀！

我们再来看：对角线互相平分的四边形为平行四边形。

对角线互相平分的四边形为平行四边形

以上就是我们证的性质定理的逆定理——平行四边形的判定定理，但是平行四边形只有这些判定定理吗？于是我们又有了猜想：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形为平行四边形

那根据这个我又想到，既然一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，那一组对边平行，另一组对边相等又能否证明四边形为平行四边形呢？试一下：

好像证不出来？

哦！这样证不出三角形ACD，与三角形ABD全等，SSA无法证明三角形全等，除非那是在直角三角形中，而且那也不是SSA，而是HL。那是不是我证全等的方法不对呢？其实对于这个举一个反例，则是最方便的。

举反例

所以，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形的判定定理，而四边形中一组对边平行，另一组对边相等无法说明该四边形为平行四边形！

所以说通过证明，我们拥有了三个平行四边形的性质定理，它们分别是：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。我们还拥有了三个平行四边形的判定定理，它们分别是：对边相等的四边形为平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形。我们以后就能用它们来解题了哦～～对了，在最后也别忘了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形为平行四边形。

PS：证明方法多种多样证，证全等的方法也更是多种多样哦～～～