基础-9：一文搞定动态规划

1 概述

前面的课程中讲到了图的基本遍历算法和简单的应用，本来想接着往后面继续讲，后来有童鞋说讲讲动态规划吧，看书有些晕，再联想到图算法中也会用到动态规划和贪心算法，就先把这两个写了。

动态规划，英文名称为dynamic programming，语义为：在运行过程中找最优解。第一次接触，可能有些模糊，本文会通过三个例子对动态规划这种思想进行阐述，动态规划不是一个固定的算法，它代表的是一种与递归类似的思想，在中小学就接触过，它没有深奥的数学推导，仔细琢磨就能搞定。本文通过最少硬币数、矩阵乘法和最长公共子串三个最常用的例子对动态规划进行说明。

2 动态规划实践

2.1 最少硬币数

问题：假设有1分、2分、5分、9分、1角的硬币若干枚，给定任意的一个金额，如1角8分，最少的硬币数是多少？
答：直觉貌似是1个1角+1个5分+1个2分+1个1分，这样是4个硬币。其实，对这个问题，用2个9分的硬币就行了。

对于上面的问题，最终的答案并不重要，关键是解题的过程。下面讨论如何得到这个答案。

假设对于任意的金额n(分)，其最小的硬币数为r_n，则有：

• r₁ = 1
• r₂ = 2
• r₃ = 2
• r₄ = 2
• r₅ = 1
• r₆ = 2
• r₇ = 2
• r₈ = 3
• r₉ = 1
• r₁₀ = 1

显然，并不是随着金额数的增加，所需的硬币数简单增加。若用k₁、k₂、k₅、k₉、k₁₀分别表示组合成n分的硬币数，则有：

k₁ * 1 + k₂ * 2 + k₅ * 5 + k₉ * 9 + k₁₀ * 10 = n

要求：

min(k₁ + k₂ + k₅ + k₉ + k₁₀)

分析到这一步，可以开始用暴力求解了，即找出k₁、k₂、k₅、k₉、k₁₀所有的组合，具体的算法如下：

// r[i]表示金额为i时的最小硬币数, n为金额
r := make([]int, 0){1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1}
func MinCoins(n int) int{ 
    if n == 0{
        return 0
    }

    if n <= 10{
        return r[n - 1]
    }
    q := n
    for i := 1; i < n; i++{
        // min是求最小数的函数
        q = min(q, MinCoins( i) + MinCoins(n - i))
    }
    return q
}

对于任何n，MinCoins都需要重新计算1~n的MinCoins，其时间复杂度为T(n) = 2ⁿ。仔细分析算法MinCoins，会发现一个问题：即计算MinCoins(k)时，需要计算MinCoins(m)(m < k)，而当计算MinCoins(k+1)时，仍然需要重复计算MinCoins(m)(m < k)，这会产生庞大的时间开销（注：递归算法的开销请查看关于递归）。

针对这个问题，很自然的一个想法是：如果将每次计算的MinCoins值保存起来，则其计算开销将显著减小。此时，算法变成：

back := make([]int, 0){1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1}
func MinCoinBack(n int) int{
    if n == 0{
        return 0
    }
    // 如果已经保存相应的解，直接返回
    if n <= len(back) - 1{
        return back[n]
    }

    q := n
    for i := 1; i < n; i++{
        if v, ok := back[i]; !ok{
            back = append(back, MinCoinBack(i))
        }else{
            q = min(q, v + MinCoinBack(n - i))
        }
    }
    return q    
}

此时，虽然也用到了递归，但在back中保存了每次的MinCostsBack的值，每个值只需计算一次，其时间复杂度为O(n²).

分析：在求最小硬币数的过程中，MinCoins(m)依赖于MinCoins(i)和MinCoins(m - i)，而MinCoins(i)又依赖于MinCoins(j)和MinCoins(i - j)，即每个问题，都依赖于更小的具有相同结构的子问题，如果每次都重复求解子问题，则需要的时间开销与规模呈幂集增长。若在计算过程中，将子问题的解保存，则每个子问题恰好只需要计算一次，其时间复杂度降为O(n²)。这就是一个简单的动态规划问题，其核心为子问题。

动态规划思想通常用来解决最优化问题，如本例中的最小硬币数，其基本特征是：规模为n的问题可以划分为数量有限的若干类子问题求解，且与子问题之间存在直接或间接递归，其解决方法也很直接，以空间换时间，提升算法效率。

2.2 矩阵乘法

矩阵乘法是代数计算的核心基础，是matlab的计算核心，如何优化矩阵乘法是关键。先看矩阵乘法：

若有矩阵A、B，且row(A) = p, col(A) = row(B) = m, col(B) = q，这A、B可以相乘，若C=AB，则C_ij = A_i1B_1j + A_i2B_2j + ... + A_imB_mj. 矩阵乘法的代价主要由各标量元素乘法的次数决定，C=AB的计算复杂度为：pmq

如果有矩阵A₁, A₂, A₃三个矩阵，A₁为10*100矩阵、A₂为100*5矩阵、A₃为5*50矩阵，若按照(A₁*A₂)*A₃的顺序计算，则需要标量乘法次数为：10*100*5 + 10*5*50 = 7500；若按照A₁*(A₂*A₃)，则需要的标量乘法次数为：100*5*50+10*100*50=75000。显然，不同的乘法顺序意味着不同的计算效率，本例中，前者的计算效率是后者的10倍，这正是算法的魅力所在。由此，也引出了一个著名的矩阵链乘法问题：

给定n的矩阵A₁, A₂, ..., A_n，矩阵A_i的规模为p_i * q _i，求解A₁*A₂* ...*A_n的计算次序（矩阵乘法满足结合律），使其所需的标量乘法最少。

这里有两个地方需要注意：

• 计算次序就是给矩阵加括号，确定先算哪两个矩阵的乘积，再算哪两个矩阵的成绩，通常称之为括号化方案；
• 这里要确定括号化方案，并不是真正对矩阵实施乘法，而是确定以那种括号化方案计算最为高效。

分析：对于这类上来就带n的规模的问题，通常的思路是：先分析n=1、2、3、4时，再分析n=k时的问题，总结出一般的规律，最后对一般规律求解，下面分情况讨论：

• n = 1, 2时，括号化方案是唯一的
• n = 3时，有两种方案：(A₁*A₂)*A₃和A₁*(A₂*A₃)
• n = 4时，有((A₁*A₂)*A₃)*A₄, (A₁*(A₂*A₃))*A₄, (A₁*A₂)*(A₃*A₄), A₁*(A₂*(A₃*A₄)), A₁*((A₂*A₃)*A₄)

当分析到n=4的时候，可以观察出规律了，可以将A₁*A₂*A₃*A₄看成：

• A₁*A₂*A₃与A₄两部分，前者即是n=3的情形；
• A₁*A₂ 与A₃*A₄两部分，两部分均是n=2的情形；
• A₁与A₂*A₃*A₄两部分，后者为n=3的情形。

这三种情形中，n=4可以分解为n=2, 3时的问题，即找到了这种递推规律：

矩阵链乘法递推规律

此时，剩下的问题时如何求括号化方案了。显然，这一问题要比最小硬币数要困难，虽然找到了规模为n的问题与规模小于n之间的关系，但是并未找到解之间的关系（这里的解是标量乘法次数）。

若有M=A_i*A_i+1* ...*A_j，row(A_i) = p_{i - 1}, col(A_i) = p_i不妨取M中标量的乘法次数为m[i, j]，则有：m[i, j] = m[i, k] + m[k + 1, j] + p_i-1p_kp_j,最小括号化方案为：

最小括号化方案

m[1, n]即为最小化括号方案的解。到这里，问题的本质就变成和最少硬币数一样的问题了，即需要将在求解m[i, j]过程中所求取的m[i, k]和m[k+1, j]的值暂存，规避重复求解，其算法如下所示（摘自算法导论）：

矩阵最小括号化算法

同样，其算法规模由递归的O(2ⁿ)降为O(n²)，感兴趣的童鞋可以深入分析。

2.3 最长公共子序列LCS

这个问题是企业面试中很常见的一个问题，本人帮朋友面试的时候，也经常会问这个问题，很少见童鞋能直接提到动态规划四个字。在具体的工程实践中，需要码农们分析归结到这个问题，才可以高效地实现算法。

先看子序列的定义：

若有序列X=< x₁, x₂, ..., x_m >，存在另一个序列Z=< z₁, z₂, ..., z_k >，且存在严格递增的X的下标序列< i₁, i₂, ..., i_k >，满足(x_i)_j = z_j (1 <= j <= k).

如果从数学分析中数列的角度看，Z就是X的子列。最长公共子序列就是求两个序列的最长公共子序列。如何求解最长公共子序列呢？

分析：假设有X，Y两个序列，X、Y长度分别为m、n，不妨取X，Y的最长公共子序列为LCS(X, Y), 可以按照下面的思路分析：

• 当m = 0或n = 0时，没有公共子序列
• 当m = i、 n = j时, 如果X[i]=Y[j]，则有LCS(X, Y) = LCS(X_1..i-1, Y_1..j-1) + X[i]，否则，LCS(X, Y) =max{ LCS(X_1..i-1, Y), LCS(X, Y_1..j-1)}

由上分析知，最长公共子序列变成了和最少硬币数、矩阵链乘法一样的问题。在实现时，需要逐元素比较两个序列，其复杂度为O(mn)，算法描述如下：

// lcs表示最长公共子序列，用于暂存计算中的最长公共子序列，伪代码，需要修改才能运行，后续将在github上列出
lcs := make([][]string, 0) 
func LCS(X, Y string) string{
    for i := 0; i < len(X) ; i++{
        lcs[i][0] = ""
    }
    for j := 0; j < len(Y) ; j++{
        lcs[0][j] = ""
    }
    for i := 1; i <= len(X); i++{
        for j := 1; j <= len(Y); j++{
            if X[i] == Y[j]{
                lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + X[i]
            }else if len(lcs[i - 1][j]) > len(lcs[i][j - 1]){
                lcs[i][j] = lcs[i - 1][j]
            }else{
                lcs[i][j] = lcs[i][j - 1]
            }
        }
    }
}

3 小结

最少硬币数、矩阵乘法、和LCS是三个典型的动态规划问题，它代表的是一种思考方式，应对的问题通常是优化问题，这三个例子中分别求解的问题是：最少的硬币数、最少的标量乘法数、最长的公共子序列，大部分情况下，是规模为n的问题通过类似递归演变为规模更小的子问题，有些书上称之为最优解结构。用动态规划时，一定要保证最终的子问题种类是有限的，而不能不停产生新的子问题。

总体而言，这三个例子很好地代表了动态规划问题以及其解决方案，其本质都递归为有限的子问题，并且用空间换时间对其进行高效处理。