拉格朗日中值定理

为了方便理解举个栗子：如果两地的距离是500公里，驾车走完这500公里耗时5小时，那么在某一时刻，你的速度必定会达到平均速度100公里/小时。
上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：

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f’(c)就是c时刻的瞬时速度。前提条件是f(x)在[a, b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且 a < c < b。这就是拉格朗日中值定理的通俗定义。

中值定理的几何意义如下图所示：

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在曲线的两点间做一条割线，割线的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点。
　需要注意的是中值定理的前提条件，下面的曲线不满足中值定理：

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函数虽然是连续的，但在x=c点处不可导，中值定理要求函数在定义域范围内全部可导。
ps1；“中值”指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导，那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。
ps2；如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。其中ξ就是中值.