数理方程-达朗贝尔公式推导过程

作者: 流星落黑光 | 来源:发表于2018-11-11 13:17 被阅读0次

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本文记录的是一维波动方程柯西问题的解：达朗贝尔公式的推导过程

给出问题

一维波动方程柯西问题（为方便讨论记为方程A）：
$u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t),(1)$ $u(x,0) = \varphi(x) ,u_t(x,0) = \psi(x),(2)$ $x \in (-\infty,+\infty),t>0(3)$ 其中（1）式是由动量守恒构造的运动方程，（2）式为 $t=0$ 时（即初始时刻）的位置和速度，也就是初始条件，（3）式为x和t的定义域。柯西问题就是不考虑边界条件，x没有边界的情况下，仅由初始条件和运动方程建立的问题。

求解step1：由叠加原理分成两个问题

叠加原理在此不细说，原理和结论都很简单。分别将方程中的运动方程和初始条件改为齐次条件，得到如下两个方程：
方程B：
$u_{tt} - a^2 u_{xx} =0,(4)$ $u(x,0) = \varphi(x) ,u_t(x,0) = \psi(x),(5)$ $x \in (-\infty,+\infty),t>0(6)$ 方程C： $u_{tt} - a^2 u_{xx} = f(x,t),(7)$ $u(x,0) = 0 ,u_t(x,0) =0,(8)$ $x \in (-\infty,+\infty),t>0(9)$ 叠加原理的结论为，如果方程B和方程C分别有解 $u_1$ 和 $u_2$ ，那么方程A的解 $u = u_1 + u_2$ 。直接带入，很容易验证。
后文中我们将提到，方程C可以由齐次化原理转化为方程B求解(https://www.jianshu.com/p/2b650426ae2a)，因此我们这里只讨论方程B。

step2传播波法（也称为行波法）

由（4）： $u_{tt} - a^2 u_{xx} =0$ ，我们可写为算子形式，即 $\left ( \frac{\partial^2}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right )u=0$ 即 $\left ( \frac{\partial}{\partial t} + a \frac{\partial}{\partial x} \right )\left ( \frac{\partial}{\partial t} - a \frac{\partial}{\partial x} \right )u=0$ 不妨设 $\frac{\partial}{\partial \xi} = A\left ( \frac{\partial}{\partial t} + a \frac{\partial}{\partial x} \right )$ ， $\frac{\partial}{\partial \eta} = B\left ( \frac{\partial}{\partial t} - a \frac{\partial}{\partial x} \right )(10)$ 。其中 $\xi,\eta$ 是关于 $(x,t)$ 的函数，AB为常数。
由求导的链式法则，我们得到
$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial \xi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi} \\ \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial \eta} + \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta} \end{matrix}\right.(11)$ 由（10）（11）联立得到
$\frac{\partial t}{\partial \xi} = A , \frac{\partial t}{\partial \eta} = B$ $\frac{\partial x}{\partial \xi} = aA , \frac{\partial x}{\partial \eta} = -aB$ 积分，得
$\xi = (x + at)/(2A), \eta = (at-x)/(2B)$ 取 $A = 1/2,B = -1/2$ ，则有 $\xi = x + at, \eta = x-at,(12)$ 且 $u_{tt} - a^2 u_{xx} =\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0$ 求积分，得 $u(\xi,\eta) = F(\xi)+G(\eta)$ 其中F和G是任意两个可微分的单变量函数。带入（12）得 $u(x,t) = F(x-at)+G(x+at),(13)$ 这个表达式很重要，由其物理意义，也被称为传播波法。需要注意的是，表达式（13）是仅由（4） $u_{tt} - a^2 u_{xx} =0$ 推导出的，也就是说不管初始条件、边界条件是什么，只要满足 $u_{tt} - a^2 u_{xx} =0$ 就可以写成 $u(x,t) = F(x-at)+G(x+at)$ 的形式（类似待定系数法）。之后F和G的具体表达式由边界条件和初始条件给出。

step3代入初始条件

由初始条件（5） $u(x,0) = \varphi(x) ,u_t(x,0) = \psi(x)$ ，代入（13），得
$u(x,0) = F(x)+G(x) = \varphi(x),(14)$ $u_t(x,0) = a(-F'(x) + G'(x)) = \psi(x) ,(15)$ 将（15）积分得 $a(-F(x) + G(x)) +C = \int_{x_0}^x\psi(\alpha)d\alpha(16)$ 其中 $x_0$ 是任意一点，C是某个确定的常数。由（14）和（16）联立可解得
$\left\{\begin{matrix} F(x) = \frac{1}{2}\varphi(x) - \frac{1}{2a}\int_{x_0}^x\psi(\alpha)d\alpha + \frac{C}{2a} \\ G(x) = \frac{1}{2}\varphi(x) + \frac{1}{2a}\int_{x_0}^x\psi(\alpha)d\alpha - \frac{C}{2a} \end{matrix}\right.$ 代入（13）得方程B的解

$u(x,t) = \frac{\varphi(x-at)+\varphi(x+at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)d\alpha,(17)$ 注意到，（17）的前半部分可以换一种写法，写为 $u(x,t) =\frac{\partial}{\partial t} \left [ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\varphi(\alpha)d\alpha \right ]+ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)d\alpha,(18)$ （17）或（18）即为达朗贝尔公式。

达朗贝尔公式的一些注记

观察（18） $u(x,t) =\frac{\partial}{\partial t} \left [ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\varphi(\alpha)d\alpha \right ]+ \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\alpha)d\alpha$ ，我们可以看到前一半是关于初始位移，后一半是初始速度。我们可以看到解在 $(x,t)$ 点的值只与初始条件在 $[x-at,x+at]$ 内的值有关，称 $[x-at,x+at]$ 为依赖区间，即解在 $(x,t)$ 点的值只依赖初始条件在依赖区间内的值。至于依赖区间为什么是这个，从物理的“波的传播”的知识也不难得到。