一道初中几何题的两种解法探索

作者: 道悅 | 来源:发表于2023-03-24 05:25 被阅读0次

题目如下图1。

图1

解法1

因比值与圆的大小无关，故不妨设AC=1,则AB= $\sqrt{2}$ 。

角ADC为直角，设DA= $x$ ,DC= $y$ ,则 $x^2 +y^2 =1$ 。

如图2，过B点作BQ垂直DC延长线于Q。

图2

由角ADC=角ACB=角CQB=90度，AC=BC，易证 $\Delta ADC\cong CQB$

$\Rightarrow$ CQ=DA= $x$ ，QB=DC= $y$ , DQ= $x+y$ , $DB^2=$ $DQ^2+QB^2 =x^2 +2xy+2y^2$

在 $\Delta DAB中，AE\bot DB$ .

DE+EB=DB （1）

$AD^2 -DE^2 =AB^2-BE^2$ $\Rightarrow BE^2 -DE^2 = 2-x^2\Rightarrow BE -DE = \frac{2-x^2}{DB}$ （2）

由(1)、(2)可得：

$2BE=\frac{DB^2+2-x^2 }{DB} =$ $\frac{x^2 +2xy+2y^2+2(x^2 +y^2 )-x^2}{DB}$

$=\frac{2x^2 +4y^2 +2xy}{DB}$

$2DE=\frac{DB^2-2+x^2 }{DB} =\frac{2xy}{DB}$

$\Rightarrow$ $\frac{BE}{DE}= \frac{x^2+2y^2+xy}{xy} \geq \frac{2\sqrt{2}xy+xy }{xy} =2\sqrt{2}+1$

所求最小值为 $2\sqrt{2} +1$ ，当 $x^2=2y^2$ 时取得。

解法1虽然不难想到，但还是讲一下它的来历，是怎么想到的，关键的思维之道有哪些？

1）模式识别。观察图形，见微知著(局部到整体，到系统，小中见大，要有升格意识)，见有思无。观察图形，发现角ACB附近的几何结构与K形图(一线三等角、三垂直)模型存在部分类似。也就是看到“角ACB、角ADC为90度”，这是看到的"微、小、部分"或"局部"，从这些蛛丝马迹见微知著联想到K形图模型，这个模型就是“著”(大、整体、系统)。也可看出”见微知著”是”模型思想”的先导或药引子，它可以把思考者的思绪导向对应的数学模型，当然它不仅仅只是”模型思想”的先导，它作为底层认知逻辑，也可作其他思维方法、思想方法的先导，例如轨迹思想、集合思想、构造思想等。

此题中的K形图不完整，把它与K形图模型比较一下就知道存在差异，还缺一个直角。自然而然想到完形补美：存在差异就消除差异，差啥就补啥，就配凑啥，就微调啥。故见微知著地完形构造：作直角BQC，补齐三个直角，产生完整的K形图实例。

“见微知著，小中见大，窥一斑而见全豹，见有思无，有中生无，无中生有，有无相生”是认知的底层逻辑之一。它们在数学思维活动中得到广泛运用，在几何、代数等解题中的运用随处可见。

人类通常很难对事物、本质都一览无余，都是在获得部分信息的基础上，小(部分、局部)中见大(整体、系统)，试图推导出整体，从表象与肤浅走向本质与深刻。例如在几何解题中，看到相等的两条线段交于一点(共一个端点)，我们会见微知著，相似联想到几何中的旋转变换，因为”相等的两条线段交于一点”这个微这个蛛丝马迹与几何旋转变换的一部分性质是相同的或类似的：绕某一点(旋转中心)旋转时，以该旋转中心为端点的线段旋转后保持不变(相等)，所以可以联想到”著”(旋转变换)。当然只要是对应线段都相等，与是否过旋转中心无关，所以有时看到两条线段相等或要证明它们相等，即便这两条线段没有公共端点，有时也可“见微知著”联想到旋转变换或证三角形全等。再比如，当看到两条线段相等，两个角相等(这两条相等线段分别是两个角的一条边)，我们往往见微知著想到全等三角形模型，之后再根据全等的三个条件，还缺少一个全等条件，这个缺少的条件是隐藏的，故作辅助线创造出缺少的这个条件，化隐为显，完形补美。构造三角形相似模型也是类似的。

再比如，轨迹思想启发你的思维从单个动点想到动点的轨迹(动点集合形成的几何结构)，而不要只盯着单个动点，轨迹思想和集合思想都有“见微知著”作为其底层逻辑。

见微知著作为底层认知逻辑在代数问题中的应用就不举例了。

”见有思无，有中生无，无中生有，有无相生”。这些其实就是创新与探索发现的能力。可以从见微知著的角度来作下解释。看到各种现象触发人们思考现象背后隐藏的本质与规律，万事万物负阴抱阳，都有阴与阳/有与无的两面。现象是”有”，属阳，一般是可见的，明显的，而大道无形，本质和规律是”无”，属阴。”无”不是没有，不是不存在，而是因为它们是隐藏的、被掩盖的、善变的、无形的、幽暗的，不容易看到，不容易被发现，需要有思维智慧和慧眼来发现它们，如几何题中的辅助线、问题中潜藏的数学模式，物理中的磁场和暗物质，虽然肉眼看不见，但存在，需要有慧眼，需要思维智慧猜想想象出它们的存在或发现它们的存在，并通过实验加以验证。

在海上航行看到露出海面上的冰山，露出海上的冰山是”有”，见微知著想到&知道在海面下还隐藏着不可见的冰山。海面下的这些不容易看见的冰山是”无”，而通过海上的冰山想到海面下关联的冰山，我思故我在，想到之后就是”有”了，这就是”见有思无，有中生无”。

从具体事物、具体方法和实践中提炼出思想方法也是“有中生无”，相对而言思想方法是“无”，具体方法是“有”。相对而言，具有哲学性质的数学思想方法是“无”，而形而下的、数学特有的思想方法是“有”。

”无中生有”的例子也有很多，例如心意识，大脑中的思维活动是无形的(相对而言)，但通过思维活动，发现发明很多科学理论和新事物，这就是无中生有，可见“无”的威力更大，它是“有”之母，有生于无。我们在数学解题中，从行动到行动，运用各种思维方法、思维策略和思想方法产生解题思路、解题突破口、解题操作以及解题方法，这也是无中生有。

“有中生无”与“无中生有”合起来就是"有无相生，有无思想”。有与无相互联系，相互转化，辩证统一。

2）确定性分析与确定性思想。在一个确定的三角形中，边上的高把该边分成确定的两段。在图2中，高AE把DB分成DE、EB两端，这两段的长度可以通过计算推导，用三条边的长度来表示，也就是确定了DE、BE与边长DB、 $x、\sqrt{2}$ 的函数关系。从而得出DE/BE比值函数，再求出该函数的最小值。

确定性思想和函数思想有关联，确定性思想的层次高于函数思想。

解法2

思绪从解法1中退出来，切换变化思维视角，运用新思维新思想经过探索产生解法2。

思维思想先行，多思多想，也就是要有靠谱的心动，念头变化生灭：感觉&直觉审美+辩证法矛盾分析+简化意识+合情设想：求 $\frac{BE}{DE}$ 的最小值，但 $BE、DE$ 这两条线段长度是变化的，这是不美的地方&痛点&妨碍解题的矛盾，也就是两条变长线段导致难以求出最小值。

从矛盾消除与转化的目的出发，结合简化/化繁为简的意识，我们进行合情设想，可产生如下美好的想法：如果能让一条线段长度固定，也就是把其中一条线段变成定长，心理上觉得可简化问题，就容易求出最小值。美好的想法要有，虽然不能保证它一定正确或可行，但万一实现了呢！

合情设想还有合情推理等属于非逻辑思维，解题思路和解法的探索与发现以及解题突破口的发现，一般是非逻辑思维与逻辑思维的结合，即合情、辩证、灵活、发散与适当严谨的结合，通常更倚重各种非逻辑思维，例如观察、联想、类比、猜想、直觉、试验、试探等，它们不那么严谨，但在解法探索发现中极其重要，只有在解法的论证求解阶段，才需要严格追求逻辑思维的严谨性。而且锻炼好逻辑思维本身并不难，例如通过学习初高中数学和解题来培养学生们的逻辑思维能力就很容易，如果再把它和非逻辑思维相比，那就更觉得它容易。数学思维高手的思维智慧和思维功底体现在对各种非逻辑思维的实践体验和领悟提炼上，体现在对各种数学思想方法和思维策略的领悟与实践运用上。

由" $\frac{BE}{DE}$ 比值、BE、DE共端点E，且在同一直线上"，这是“微“或局部。我们再次见微知著，相似联想到平行线分线段相似模型。

心动到行动的变现，由上面的一系列心动(包括联想到平行线模型)驱动行动，自然得到如下的解题行动操作：如下图3所示，过D作AE的平行线DF交BA延长线于F点。 $\frac{BE}{DE} =\frac{BA}{AF}$ ，BA是定长(可认为BA是定长) ，故转化为求AF的最大值。

图3

FA的端点A为定点，F为动点，FA是变化的，似乎不难求出FA的最大值，但实际上直接求FA的最大值有些棘手，DF与FB的夹角是变化的，难以得出D点在圆P的哪个位置时FA取最大值。如果按解法1求出BE、DE的函数之后求出AF的函数，倒不如直接用解法1这种偏代数计算的方法。

灵活变通一下，思维方向变一下。角FDB为直角，D点也在以FB为直径的动圆上，D点是该动圆与圆P(定圆)的公共点(两圆的交点或切点)。

AB为定长，故可转化为求出FB的最大值，即可求出FA的最大值。

一滴水只有回到大海才不会枯竭，同时也可以看出我们也不是孤立的孤零零的求FB的最大值，而是见微知著，用联系的观点升格问题，扩大思维视野，否定之否定，回归到包含它的系统&整体，返回到包含它的数学模式&数学模型中，把FB置于动圆中，置于动圆与圆P圆O的关系(例如位置关系)中进行思考，也就是回归到大场景大系统中求其最大值。

但如何求FB的最大值，似乎难以有思路。

还是要借助数学思想的作用，靠数学思想方法给力。各种思想方法都是某一种类型的思维内容的生产者或思维方向思维视角的指引者，它们让你产生靠谱的心动(起心动念、产生念头)：启发你产生某种思维内容，切换思维方向或视角。而且日久或对它们体验深刻会产生与这种思想对应的自觉的(思想)意识，所以借助它们你就容易有各种想法，就容易发现解题突破口，提高了解决难题的可能性和效率。例如临界思想启发你的思维要考虑边界情况，方程思想方程意识启发你要注意考虑列方程，也就是在你的思维内容中产生列方程的念头(想法)，有这种念头之后，自然就激活了你去寻找等量关系，自然就激活你的方程知识，否则即便你精通各种解方程的数学知识，很可能不会想到要列方程来解决问题，那这些数学知识也就只能在你大脑中沉睡而不能利用它们来发挥解题作用。

对此题的第二种解法探索，这里采用运动变化思想和临界思想来进行解法探索，它们可以切换和指导我们思维视角、思维方向和思维内容，从而发现隐藏的本质和解题突破口。

运动变化思想它是辩证法运动变化观的变现，是辩证法认识论与方法论的统一。

运动变化思想属于高层的思想，属于具有哲学性质的形而上的思想，所以它的层次高于很多其它的数学思想，比如数形结合、转化、变换、分类讨论等这些形而下的思想方法&数学等少数学科特有的思想方法，而这些形而下的&特有的思想体现了运动变化思想。当然运动变化思想也不是只能高来高去，不接地气，只能启发变化意识，它也是可以如这些形而下的思想方法一样，可以直接指导我们的数学思维活动，指导我们具体如何变(变化的手段)、变什么、变化的方向是什么。

数学家波利亚：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”。

心动驱动&决定行动，解题中大脑的思维在运动变化，从而驱动解题的每一步(纸上、黑板上的行动操作)变化(解题的每一步都是变化)。

运动变化思想启发我们告诉我们要主动化静为动，通过考察动态变化过程，在运动变化过程中窥见问题的本质，动中求机(玄机、本质模式、规律)，凸现&发现隐藏的解题突破口和本质。

与代数变形类似，在几何中也有各种几何变换和多种变化模式，教材中的几何变换例如旋转、平移、对称、位似等是典型的几何变换，也是狭义的。其实从变换的功能视角来看，诸如构造全等，构造相似，作平行四边形，作等腰，作平行线等也是几何变换，都是在变化，它们可以转移可以改变几何对象的几何位置和几何结构，可以转移传递数量关系，所以要把它们看成广义的几何变换。学习其他数学知识时，在自己的数学认知结构中也要有类似这样的一些认知，不要僵化，不要过于严格地理解数学教材上的部分内容而局限自己的认知，从而陷入思维认知的定势陷阱。要自己扩充或泛化教材上的一些认知，要有自己的主观的独特的看法，要注意在解题中自己提炼领悟数学思想，提升思维智慧，不能只学数学知识，特别是不能只学都是陈述型数学知识的数学参考书。

对这道几何题，用运动变化的思想结合临界思想(边界、极端思想)求动圆直径的最大值。运动变化思想指导我们变什么？变直径FB，变化以FB为直径的圆。就是让直径FB从小到大逐渐变化(递增),考察在增大直径的动态变化过程中，动圆的变化情况，特别是临界情况，以及动圆与其他几何对象之间的各种态势&趋势变化，例如位置关系的变化。

如图4，在FB增大的过程中，必须满足的一些约束：

1）F点始终在A点左侧或与A点重合。动圆圆心在AB直线上，且始终在O点左侧或与O点重合。FB的最小值为AB，此时F点与A点重合，动圆圆心与O点重合。

2）无论FB为多少，以FB为直径的动圆始终与圆O相切于定点B，也就是动圆始终在过B点的切线的左侧。

3）动圆始终与圆P有公共点(相交或相切)，公共点为D点。

图4

FB增大过程中，变化态势如图4。由于动圆始终在过B点的切线左侧，相当于在B点那里放了一块垂直于FB的挡板(切线)。当FB从最小值(等于AB)开始逐渐增大时，动圆如气球一样只能向左、向上、向下膨胀，但始终不能超越挡板右侧。所以随着FB的逐渐增大，很容易得出用文字描述的变化态势，即得到如下认知：

1.动圆变大，动圆圆心在AB直线上逐步向左移动，离O点越来越远；

2.动圆与圆P(半圆)有两个交点，这两个交点都是D点。例如当FB为F1B时，动圆与圆P存在两个交点(公共点)。

3.结合图4，几何直观可以得出：随着FB的逐渐增大，这两个交点在圆P(半圆)上构成的劣弧会越来越短，也就是两个交点越来越靠近，动圆与圆P的位置关系有逐渐分离的趋势。

大脑中进行思维实验或借助图4进行直观想象，可以得到如下认知：当FB继续增大到某个临界值F2B时，这两个交点会重合，变成一个点，也就是此时动圆与圆P相切，这就是图形的临界(边界、极端)情况。之后FB如果继续增大，动圆与圆P会相离，没有公共点，故不能继续增大，这也是存在性与必要性的必然要求。

到这一步应该可得到这样的顿悟：哦，相切是FB取最大值时本质的几何模式。发现FB取最大值时动圆与圆P必相切，这个发现就是波利亚所说的“发现对解题有价值的东西”，也是玄机。

可见通过从几何角度考察FB的变化过程，从几何对象的运动变化中动中求机(玄机)，借助几何直观慧眼识机，凸现了问题中原本隐藏的对解题极为关键的本质模式和玄机。

发现相切这个玄机之后，下面根据这个几何模式(相切)求出两线段比值的最小值不存在难度了。

两圆相切时，动圆圆心、点P、切点D三点共线。

如下图5，不妨设AC为2，则AP=PD=1，AB= $2\sqrt{2}$ ，AO= $\sqrt{2}$ 。设两圆相切时动圆圆心为Q(易知其在线段AO上)，FB为a。则FQ=QB=QD= $\frac{a}{2}$ ，QP=QD-PD= $\frac{a}{2} -1$ ，FA=FB-AB= $a-2\sqrt{2}$ ，AQ=FQ-FA= $2\sqrt{2} - \frac{a}{2}$ 。BE/DE最小值=AB/FA= $\frac{2\sqrt{2} }{a-2\sqrt{2} }$