高等数学(三) 微分中值定理及导数的应用

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-15 10:56 被阅读0次

（一）微分中值定理

定理1 费马引理

如果函数f(x)在x₀处可导，且在x₀处取得极值，那么f'(x₀)=0

定理2 罗尔定理

若1）f(x)在[a,b]上连续
2）f(x)在(a,b)内可导
3）f(a)=f(b)
则 $\exists \xi \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$

定理3 拉格朗日中值定理

若1）f(x)在[a,b]上连续
2）f(x)在(a,b)内可导
则 $\exists \xi \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)$

定理4 柯西中值定理

若1）f(x)，F(x)在[a,b]上连续
2）f(x)，F(x)在(a,b)内可导，且F'(x)≠0
则 $\exists \xi \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$

定理5 皮亚诺余项泰勒公式

设f(x)在(a,b)内可导，那么
$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\ldots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)$
其中 $R_{n}(x)=o\left(x-x_{0}\right)^{n}$ ，特别地，当x₀=0时，将其称为麦克劳林公式

定理6 拉格朗日余项泰勒公式

设f(x)在含x₀的区间(a,b)内n+1阶可导，那么对 $\forall \xi \in(a, b)$ ，至少存在一个 $x \in(a, b)$ ，使
$f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\ldots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)$
其中 $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}, \xi \in\left(x_{0}, x\right)$

（二）导数的应用

1、导数的单调性

定理7 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导
1）若在(a,b)内f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增
2）若在(a,b)内f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减

2、函数的极值

若 $\exists \delta>0$ ，使得 $\forall x \in \bigcup\left(x_{0}, \delta\right)$ 恒有f(x)≥f(x₀)，则称f(x)在x₀取极小值
若 $\exists \delta>0$ ，使得 $\forall x \in \bigcup\left(x_{0}, \delta\right)$ 恒有f(x)≤f(x₀)，则称f(x)在x₀取极大值

定理8 极值的必要条件
若f(x)在x₀处可导，且在x₀取得极值，则f'(x)=0

f'(x)=0的点称为驻点，因此极值点都是驻点，但驻点不一定是极值点

定理9 极值的第一充分条件
设f(x)在 $\bigcup\left(x_{0}, \delta\right)$ 内可导，且f'(x)=0（或f(x)在x₀处连续）
1）若x<x₀时，f'(x)≥0；若x>x₀时，f'(x)≤0，则f(x)在x₀处取得极大值
2）若x<x₀时，f'(x)≤0；若x>x₀时，f'(x)≥0，则f(x)在x₀处取得极小值
3）若f'(x)在两侧不变好，则f(x)在x₀无极值

定理10 极值的第二充分条件
设f'(x)=0，f''(x)≠0，则
1）当f''(x)<0，则f(x)在x₀处取得极大值
2）当f''(x)>0，则f(x)在x₀处取得极小值

3、函数的最大最小值

求出f(x)在(a,b)内的驻点和不可导的点
算出第一步的点的端点的函数值
比较以上各点的函数中

4、曲线的凹凸性

定义3
曲线是凹的 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$
曲线是凸的 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$

定理11 若在区间I上f''(x)>0（<0），则曲线y=f(x)在I上是凹的（凸的）

定义4 拐点
拐点即为凹向发生变化的点

既然是点，那必定是(x₀,f(x₀))，不能说x₀是拐点

拐点的判定类比极值，只需要将阶数提升一阶即可

5、曲线的渐近线

1）若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ，那么y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线
2）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty$ ，那么x=x₀是曲线y=f(x)的垂直渐近线
3）若 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=a$ ， $b=\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-a x)$ ，那么y=ax+b是曲线y=f(x)的斜渐近线

6、函数的作图（略）

7、曲线的弧微分与曲率

曲率 $K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{3 / 2}}$
曲率半径 $R=\frac{1}{K}$