1.中心极限定律

作者: walleipt | 来源:发表于2021-03-24 15:46 被阅读0次

中心极限定律

1、总体和样本

在统计中我们需要分清楚两个概念：总体和样本；以灯泡检测为例，我需要检测所有工厂所有灯泡的寿命，这里工厂中所有灯泡即为总体；在检测中对于一批的灯泡寿命进行抽样检测，这批抽样的灯泡叫做样本；在之后的统计学中的各种推论很多是基于样本来推测总体(总体的均值，标准差往往是我们无法直接获取的)。

中心极限定理主要阐述的是总体均值与样本均值的分布关系

如上图有一均值为μ标准差为σ的总体；对其以放回抽样方式进行反复抽取,且样本大小为n，当样本n>=30时，则：

a、若总体是正太分布，不论样本大下，则有样本均值 $\overline{X}$ 服从均值为μ,方差为 $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ 的正态分布；即 $\overline{X}\sim N(μ,\frac{σ}{\sqrt{n}})$

b、 $\overline{X}$ 的抽样分布近视均值为μ,方差为 $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ 的正态分布。 $\overline{X}\sim N(μ,\frac{σ}{\sqrt{n}})$

c、 $\frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}$ 近视标准常态分布N(0,1)

看到如上中心极限定理的公式，直观理解就是=>由总体的参数(μ、σ)推断样本参数( $\overline{X}$ 、S);

这里会抛出一个疑问，总体中参数μ、σ大多数情况下是无法统计出来的(或者统计代价太高)，相对的样本参数 $\overline{X}$ 、S是比较容易获得；我要个中心极限定理有什么用？

重新考虑了这个问题 $\overline{X}$ 与μ是会有一定误差的，那么该怎么计算这个误差？

首先，误差简单表示为 $\overline{X}$ -μ；
然后，看看中心极限定理中 $\frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}$ 近视标准常态分布N(0,1) ，将式子简化为 $\frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}}$ =Z；
现在，误差可以转换为 $\overline{X}-μ=Z\ast (σ/\sqrt{n})$ => 即： $Z\ast (σ/\sqrt{n})$ ，
最后，可以对误差的计算来帮我们计算出总体μ值或者接近μ值得范围

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