B 树

   即二叉搜索树：
   1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（ Left 和 Right ）；
   2. 所有结点存储一个关键字；
   3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
   如：

B树.png

B 树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
如果 B 树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么 B 树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变 B 树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；
但 B 树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构

右边也是一个 B 树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用 B 树还要考虑尽可能让 B 树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；
实际使用的 B 树都是在原 B 树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持 B 树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在 B 树中插入和删除结点的策略；

B- 树

   是一种多路搜索树（并不是二叉的）：
   1. 定义任意非叶子结点最多只有 M 个儿 子；且 M>2 ；
   2. 根结点的儿子数为 [2, M] ；
   3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为 [M/2, M] ；
   4. 每个结点存放至少 M/2-1 （取 上整）和至多 M-1 个关键字；（至少 2 个关键 字）
   5. 非叶子结点的关键字个数 = 指向儿 子的指针个数 -1 ；
   6. 非叶子结点的关键字： K[1], K[2], …, K[M-1] ；且 K[i] < K[i+1] ；
   7. 非叶子结点的指针： P[1], P[2], …, P[M] ；其中 P[1] 指向关键字小于 K[1] 的子树， P[M] 指向关键字大于 K[M-1] 的子树，其它 P[i] 指 向关键字属于 (K[i-1], K[i]) 的子树；
   8. 所有叶子结点位于同一层；

B-tree(M=3).jpg

BTree_Search(node, key) {
    if(node == null) return null;
    foreach(node.key)
    {
        if(node.key[i] == key) return node.data[i];
            if(node.key[i] > key) return BTree_Search(point[i]->node);
    }
    return BTree_Search(point[i+1]->node);
}
data = BTree_Search(root, my_key);

B- 树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；
B- 树的特性：
1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5. 自动层次控制；
6.关于B-Tree有一系列有趣的性质，例如一个度为d的B-Tree，设其索引N个key，则其树高h的上限为logd((N+1)/2)，检索一个key，其查找结点个数的渐进复杂度为O(logdN)。从这点可以看出，B-Tree是一个非常有效率的索引数据结构。
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有 M/2 个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

B-tree(时间复杂度).jpg

其中， M 为设定的非叶子结点最多子树个数， N 为关键字总数；
所以 B- 树的性能总是等价于二分查找（与 M 值无关），也就没有 B 树平衡的问题；
由于 M/2 的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占 M/2 的结点；删除结点时，需将两个不足 M/2 的兄弟结点合并；

B+ 树

   B+ 树是 B- 树的变体，也是一种多路搜索 树：
   1. 其定义基本与 B- 树 同，除了：
   2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
   3. 非叶子结点的子树指针 P[i] ， 指向关键字值属于 [K[i], K[i+1]) 的子树（ B- 树是开区间）；
   5. 为所有叶子结点增加一个链指针；
   6. 所有关键字都在叶子结点出现；

与B-Tree相比，B+Tree有以下不同点：

每个结点的指针上限为2d而不是2d+1。
内结点不存储data，只存储key；叶子结点不存储指针。
带有顺序访问指针的B+Tree
一般在数据库系统或文件系统中使用的B+Tree结构都在经典B+Tree的基础上进行了优化，增加了顺序访问指针。

B+tree（ M=3 ）.jpg

B* 树

   是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B* tree( M=3).png

B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)M ，即块的最低使用率为 2/3 （代替 B+ 树的 1/2 ）；
B+ 树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针； B+ 树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B 树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制 1/3 的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以， B* 树分配新结点的概率比 B+ 树要低，空间使用率更高；

小结

   B 树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
   B- 树：多路搜索树，每个结点存储 M/2 到 M 个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；
   所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
   B+ 树：在 B- 树基础上，为叶子结点增加链 表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引； B+ 树总 是到叶子结点才命中；
   B* 树：在 B+ 树基础上，为非叶子结点也增 加链表指针，将结点的最低利用率从 1/2 提高到 2/3 ；