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【数学建模算法】(19)排队论:多服务台模型(M/M/s/∞)

【数学建模算法】(19)排队论:多服务台模型(M/M/s/∞)

作者: 热爱学习的高老板 | 来源:发表于2019-08-19 11:13 被阅读0次

设顾客单个到达,相继到达时间间隔服从参数为\lambda的负指数分布,系统中共有s个服务台,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为\mu的负指数分布。当顾客到达时,若有空闲的服务台则马上接受服务,否则便排成一个队列等待,等待时间为无限。

下面来讨论这个排队系统的平稳分布。记p_{n}=P\{N=n\} \quad(n=0,1,2, \cdots)为系统到达平衡状态后队长N的概率分布,注意到对个数为s的多服务台系统,有
\lambda_{n}=\lambda, \quad n=0,1,2, \cdots

\mu_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{n \mu,} & {n=1,2, \cdots, s} \\ {s \mu, n} & {=s, s+1, \cdots}\end{array}\right.
\rho_{s}=\frac{\rho}{s}=\frac{\lambda}{s \mu},则当\rho_{s}<1时,由之前的结论,相似地,有:
C_{n}=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{(\lambda / \mu)^{n}}{n !},} & {n=1,2, \cdots, s} \\ {\frac{(\lambda / \mu)^{s}}{s !}\left(\frac{\lambda}{s \mu}\right)^{n}} & {=\frac{(\lambda / \mu)^{n}}{s ! s^{n-s}}, \quad n \geq s}\end{array}\right.(1)
故:
p_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{\rho^{n}}{n !} p_{0}, \quad n=1,2, \cdots, s} \\ {\frac{\rho^{n}}{s ! s^{n-s}} p_{0}, \quad n \geq s}\end{array}\right.(2)
其中:
p_{0}=\left[\sum_{n=0}^{s-1} \frac{\rho^{n}}{n !}+\frac{\rho^{s}}{s !\left(1-\rho_{s}\right)}\right]^{-1}(3)

式(1)和(2)给出了在平衡条件下系统中顾客为n的概率,当n \geq s时,即系统中顾客数大于或等于服务台个数,这时再来的顾客必须等待,因此记:
c(s, \rho)=\sum_{n=s}^{\infty} p_{n}=\frac{\rho^{s}}{s !\left(1-\rho_{s}\right)} p_{0}(4)
式(4)称为Erlang等待公式,它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。
对多服务台等待制排队系统,由已得到的平稳分布可得平均排队长L_{q}为:
L_{q}=\sum_{n=s+1}^{\infty}(n-s) p_{n}=\frac{p_{0} \rho^{s}}{s !} \sum_{n=s}^{\infty}(n-s) \rho_{s}^{n-s}
=\frac{p_{0} \rho^{s}}{s !} \frac{d}{d \rho_{s}}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \rho_{s}^{n}\right)=\frac{p_{0} \rho^{s} \rho_{s}}{s !\left(1-\rho_{s}\right)^{2}}(5)

L_{q}=\frac{c(s, \rho) \rho_{s}}{1-\rho_{s}}(6)
记系统中正在接受服务的顾客的平均数为\overline{\mathbf{S}},显然\overline{\mathbf{S}}也是正在忙的服务台的平均数,故:
\overline{s}=\sum_{n=0}^{s-1} n p_{n}+s \sum_{n=1}^{\infty} p_{n}=\sum_{n=0}^{s-1} \frac{n \rho^{n}}{n !} p_{0}+s \frac{\rho^{s}}{s !\left(1-\rho_{s}\right)} p_{0}(7)
\quad=p_{0} \rho\left[\sum_{n=1}^{n-1} \frac{\rho^{n-1}}{(n-1) !}+\frac{\rho^{n-1}}{(s-1) !\left(1-\rho_{s}\right)}\right]=\rho
这说明,正在忙的服务台个数不依赖于服务台个数s,这是一个有趣的结果,可得平均队长L_{s}为:
L_{s}=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数=L_{q}+\rho

对于多服务台系统,前面说的Little公式仍然成立,既有:
W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}, \quad W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}=W_{s}-\frac{1}{\mu}

例1 某售票处有 3 个窗口,顾客的到达为 Poisson 流,平均到达率为\lambda=0.9人/min;服务(售票)时间俯冲负指数分布,平均服务率\mu=0.4人/min。现设顾客到达后排成一个队列,依次向空闲的窗口购票。

这一排队系统可看成是M / M / s / \infty系统,其中
s=3, \quad \rho=\frac{\lambda}{\mu}=2.25, \quad \rho_{s}=\frac{\lambda}{s \mu}=\frac{2.25}{3}<1

由多服务台等待制系统的有关公式,可得到:
(1)整个售票处空闲的概率
p_{0}=\left[\frac{(2.25)^{0}}{0 !}+\frac{(2.25)^{1}}{1 !}+\frac{(2.25)^{2}}{2 !}+\frac{(2.25)^{3}}{3 !(1-2.25 / 3)}\right]^{-1}=0.0748
(2)平均排队长
L_{q}=\frac{0.0748 \times(2.25)^{3} \times 2.25 / 3}{3 !(1-2.25 / 3)^{2}}=1.70(人)
平均队长:
L=L_{q}+\rho=1.70+2.25=3.95(人)
(3)平均等待时间
W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}=\frac{1.70}{0.9}=1.89(min)
平均逗留时间
W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}=\frac{3.95}{0.9}=4.39(\min )
在本例中,如果顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队,且入队后不再换队,即可形成 3 个队列。这时,原来的M / M / 3 / \infty系统实际上变成了由 3 个M / M / 1 / \infty子系统组成的排队系统,且每个系统的平均到达率为:
\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{0.9}{3}=0.3(人/min)
下表给出了M / M / 3 / \infty和三个M / M / 1 / \infty

项目 M / M / 3 / \infty 3个M / M / 1 / \infty
空闲的概率 0.0748 0.25(每个子系统)
顾客必须等待的概率 0.57 0.75
平均队长 3.95 9(整个系统)
平均排队长 1.70 2.25(每个子系统)
平均逗留时间 4.39(min) 10(min)
平均等待时间 1.89 7.5(min)

求解该问题的LINGO程序如下:

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

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