剑指 offer 笔记 09 | 变态跳台阶

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目分析
关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

1、这里的 f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2、n = 1 时，只有1种跳法，f(1) = 1

3、n = 2 时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1），f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4、n = 3 时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，那么就是第一次跳出 1 阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下 f(3-2)；第一次3阶，那么剩下 f(3-3)，因此结论是 f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5、 n = n 时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6、由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
两式相减
可以得出递推公式：f(n) = 2*f(n-1) （n >= 2）

7、 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

            | 1 ,（n = 0）
f(n)  =     | 1 , ( n = 1）
            | 2*f(n-1),(n>=2)

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

参考文献：牛客网作者dangle