初中代数（四）：方程

含有未知数的等式叫做方程，使得等式成立的 x 的值叫做方程的解，求方程的解的过程叫做解方程

元：未知数的个数，2x + 3y - 5 = 0，二元方程
次：未知数的次数，2x²y³ - 3xy + 5 = 0，五次方程

等式性质：

• 等式两边同时加减同一个数或式子，结果仍相等
• 等式两边同时乘以或除以同一个数或式子（除数不能为0），结果仍相等

一元一次方程

一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0

• 有且只有一个未知数
• 未知数的次数为 1
• 未知数的系数不为 0

一元一次方程的一般形式：ax + b = 0 (a≠0)

解一元一次方程的步骤：

1. 去分母：
   有些系数是分数，可以把系数化为整数，计算方便
   方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数（等式的性质2）
   如果分子是多项式，应将该分子加上括号，将分子看做是一个整体

2. 去括号：负负得正，负正得负

3. 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，未知数移到左边，常数项移到右边（等式的性质1）

4. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，系数相加，字母和字母的指数不变

5. 系数化成1：将未知数的系数化成 1（等式的性质2）

例1：2(x+3) = 2.5(x-3)
解：2x + 6 = 2.5x - 7.5
0.5x = 13.5
x = 27

例2：(1/2)x + (1/5)x = 7
解：两边同时乘以 10
5x + 2x = 70
7x = 70
x = 10

例3：x/2 - (x-3)/6 = 1
解：两边同时乘以 6
3x - (x-3) = 6
3x - x + 3 = 6
2x = 3
x = 1.5

二元一次方程组

二元一次方程：含有两个未知数，未知数的次数都是1

x + y = 22

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值叫做该二元一次方程的解，每个二元一次方程有有多个解

方程：
x + y = 22

解：
x = 0, y = 22
x = 1, y = 21
...

二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起

x + y = 22
2x + y = 40

特别地，以下方程组也是二元一次方程组：

x = 6
x + y = 8

特别地，以下方程组也是二元一次方程组：

x - 8 = 0
y + 2 = 4

二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，只有一组公共解：

方程组：
x + y = 22 ①
2x + y = 40 ②

解：
x = 18
y = 4

方程组的解即满足方程 ①，又满足方程 ②

二元一次方程组的解法：

• 代入消元法
• 加减消元法

代入消元法

• 变形：选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式
• 代入求解：把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出另一个未知数的值
• 回代求解：把求得的未知数代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的值
• 写解

方程组：
x - y = -2 ①
2x + 3y = 21 ②

解：
由 ① 有：x = y - 2 ③

把 ③ 代入 ② 有：
2(y - 2) + 3y = 21
2y - 4 + 3y = 21
5y = 25
y = 5

把 y = 5 代入 ③ 有：x = 3

∴ 原方程组的解为：
x = 3
y = 5

加减消元法

两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，把两个方程两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做加减消元法

• 变形
• 加减消元求解
• 回代求解
• 写解

方程组：
3x + 4y = 16 ①
5x - 6y = 33 ②

解：
① × 3：9x + 12y = 48 ③
② × 2：10x - 12y = 66 ④
③ + ④：19x = 114，x = 6
将 x = 6 代入 ①：18 + 4y = 16，y = - 1/2
∴ 原方程组的解为：
x = 6
y = - 1/2

三元一次方程组

• 含有三个方程
• 含有三个不同的未知数
• 未知数的次数是1

3x + 4z = 7 ①
2x + 3y + z = 9 ②
5x - 9y + 7z = 8 ③

利用代入消元或者加减消元，变为二元一次方程组

每两个方程可以消去一个元：

• 两个二元一次方程，消元后得到一个一元一次方程

  x + y = 5
  2x - y = 10
  消元后得到：
  3x = 15
  

• 两个三元一次方程，消元后得到一个二元一次方程

  x + y + z = 5
  2x + 3y - z = 10
  消元后得到：
  3x + 4y = 15
  

• 两个四元一次方程，消元后得到一个三元一次方程

  x + y + z + α = 5
  2x + 3y - 3z - α = 10
  消元后得到：
  3x + 4y - 2z = 15
  
  

一元二次方程

一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2

2x² + 3x - 1 = 0

一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

ax² 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项
判别式：Δ = b² - 4ac

方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解（又叫根）

• Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根
• Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根
• Δ < 0 时，方程无解

解一元二次方程的方法：

• 配方法：方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，将方程化为 (x + m)² = n 的形式
• 求根公式法：x =
• 因式分解法：将一般形式的一元二次方程变为几个因式乘积的形式，(x - m)(x - n) = 0，x1 = m, x2 = n

练习题：

例1：x² + 12x - 15 = 0
解：原方程等价于
x² + 12x = 15
利用配方法
x² + 12x + 6² = 15 + 6²
(x + 6)² = 51
x + 6 = ±
x = -6 ±
∴ 方程的解为 x1 = -6 +, x2 = -6 -

例2：x² - x - = 0
解：系数化成整数
2x² - 3x - 2 = 0
a = 2, b = -3, c = -2
Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 > 0，有两个实根
x = = =
∴ x1 = 2, x2 = -

例3：x² + 3 = 2x
解：原方程等价于
x² - 2x + 3 = 0
(x - )² = 0
∴ x1 = x2 =

例4：3x(x + 2) = 5(x + 2)
解：
注意不要两边同时除以(x + 2)，因为 x = -2 有可能是方程的一个解，通过移项，原方程等价于
3x(x + 2) - 5(x + 2) = 0
提取公因式进行因式分解
(x + 2)(3x - 5) = 0
∴ x1 = -2, x2 =

例5：2x² - x = 3
解：原方程等价于
2x² - x - 3 = 0
利用十字相乘法分解因式
1 1
2 -3
(x + 1)(2x - 3) = 0
∴ x1 = -1, x2 =

韦达定理

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1, x2
x1 + x2 = -
x1·x2 =