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应用基本不等式求最值的求解策略二分离法

应用基本不等式求最值的求解策略二分离法

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-26 21:16 被阅读0次
应用基本不等式求最值的求解策略一分离法

方法二 分离法

使用情景：某一类函数的最值问题
解题步骤：
第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；
第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
【例】 求y=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}的值域。
【解】
y=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2+5(x+1)+4}{x+1}
=(x+1)+\dfrac{4}{x+1}+5
当x+1>0,即x>-1时,

y \geqslant 2\sqrt{(x+1) \times \dfrac{4}{x+1}}+5=9

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
【总结】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y=mg(x)+\dfrac{A}{g(x)}+B(A>0,B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

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