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应用基本不等式求最值的求解策略三函数法

应用基本不等式求最值的求解策略三函数法

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-26 21:21 被阅读0次
应用基本不等式求最值的求解策略一函数法

方法三 函数法

使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况
解题步骤：

第一步 运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
第二步 运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；
第三步 结合函数f(x)=x+\dfrac{a}{x}的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；
第四步 得出结论.
【例】 求函数y=\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}的值域。
【解析】
令t=\sqrt{x^2+4} (t \geqslant2)，

则y=\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}=t+\dfrac{1}{t}(t\geqslant 2)，

因t>0，t\cdot \dfrac{1}{t}=1，但t=\dfrac{1}{t}解得t=\pm1不在区间[2,+\infty)，

故等号不成立，考虑单调性。
因为y=t+\dfrac{1}{t}在区间[1,+\infty)单调递增，

所以在其子区间[2,+\infty)为单调递增函数，故y\geqslant\dfrac{5}{2}。
所以，所求函数的值域为\left[\dfrac{5}{2},+\infty\right)。

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