1. 理论基础——大数定理与中心极限定理

在正式介绍t分布前，还是再强调一下数理统计学中的两大基石般的定理：大数定理与中心极限定理，后面会用到。这里我就不以数学公式的方式来说明了，直接说一下两个定理所表达的意思。

大数定理：

不管是强大数定理还是弱大数定理，都表达着这样一个意思：当样本数量足够大时，这些样本的均值无限接近总体的期望。

中心极限定理：

不管样本总体服从什么分布，当样本数量足够大时，样本的均值以正态分布的形式围绕总体均值波动。中心极限定理的表达方式可以有多种，我这里只是其中一种。

2. t 统计量

t 统计量是英国化学家、数学家、统计学家 William Sealy Gosset提出的，当年他在爱尔兰的吉尼斯酒厂（这个酒厂还有个很牛的事儿，它的老板编著了现今著名的《吉尼斯世界纪录》）工作时，酒厂禁止其将研究成果公开发表，以免泄露秘密，迫不得已William Sealy Gosset以笔名“The Student”发表研究成果，t统计量及t分布的命名就是源于改笔名。

大麦是酿造啤酒的主要原料，因此酒厂就希望大麦产量越高越好，于是就不断改进大麦种植工艺，此时就需要做试验来比较不同工艺下大麦的产量，但是实际条件不允许（或者为了减轻工作负担）大面积种植麦子来比较工艺的优劣，因此试验田种植是比较合适的方式。比如现在有两片试验田（如下图所示），左边的是采用工艺A种植的麦子，右边的是采用工艺B种植的麦子，两边各种100株麦子。下面我要开始编故事啦。。。

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现在发现左边麦田中平均每株麦穗上有100粒麦子，右边麦田中平均每株麦穗上有120粒麦子，这说明啥？说明采用工艺B能得到更高的麦子产量对不？咱们外行可能会这么看，但是人家专业的可不轻易这么认为。这是采用小面积的试验田种出的麦子，一个是量少，不足以说明问题（想想咱们的大数定理），另一个是无法保证除工艺区别外其它因素都一样。因此，William Sealy Gosset就想，这20粒麦子的差值能不能说明工艺的优劣问题呢？

William Sealy Gosset知道，每株麦穗上的平均麦子数是有波动的，可能这一次种的麦子平均值是100，下一次就不一定了，可能就是105，也可能是95。那可以这样考虑啊，这20的差值是不是在工艺A下麦子平均产量的正常波动范围内？样本均值的波动可以用样本均值的标准差表示，注意：这里说的是样本均值的标准差，而不是样本的标准差，基于这种想法可以构造这样一个统计量