AdS/CFT integrability: An overview

introduction的内容还是要反复多看几遍的，一是可以印证和整理已经学习过的知识，再有就是可以避免自己迷路，同时照亮来途和前路。

归根结底我们是要求解一个理论得到一些物理可观测量。比如我们可以用非相对论力学求解氢原子的能级。粒子物理里的一个很重要的类似问题是用量子色动力学(QCD)求解核子的能谱。当然数值和微扰法总是可以使用的，但是理想的情况还是希望求解的物理量可以写成是理论参数的函数。这个函数可以是一些基本的函数，或者是微分，积分方程的解，在低能下，QCD是一个强耦合的非线性理论，求解极其困难。但是我们通过简化理论来求解从而得到一些对实际理论的一些启示。QCD的一个简化版本就是planner N=4 Super Yang-Mills 理论。QCD的夸克，核子，能谱分别对应了SYM理论里的local operator，composite operator，conformal dimension。在SYM里conformal dimension就可以写成耦合常数的函数，这个函数是一些积分方程的解。这些积分方程来自于Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA) 或者与之相关的 Y-system。除了耦合常数，另外一个参数是composite operator的长度，如果这个长度趋于无限长，这样的composite operator的conformal dimension可以由一些代数方程得到，这些代数方程来自于Asymptotic Bethe Ansatz (ABA)。一个自然的问题，为什么这些求解的方法 TBA或者ABA存在？是否可以把这些方法推广到别的理论。这就引出了可积性的概念。或者说是可积性的定义：如果理论可以由这些方法来求解就是可积的。这里我们只是起了个名字，只是把问题换成什么理论是可积的？去理解可积性，我们可以推广一下可积性的定义：如果理论可以由一些代数方程来求解。一个简单的图像是这样的：比如你想求一个量子系统的能谱，你要把哈密顿量的矩阵写下，然后利用本征方程求本征值。如果系统是可积的，就存在一个方法直接得到本征方程！而不需要求哈密顿量还有求本征方程！问题还是没有解决，就是为什么这样的方法存在？或者说为什么我们可以期待这样的方法存在？
一个intuitive的答案是，理论的能谱只是理论的一般的信息，另一半的dynamical的信息是在本征函数里的，所以如果我们只想知道能谱，我们是不需要完整求解理论的。一个极端的例子理论具有某种对称性，并且哈密顿量就是对称群的Casimir，而Casimir的谱不是依赖于某一个量子态，而是群表示的character。这样我们就可以把对象从某一个量子态变为某一个class。总结一下就是，我们希望在算符层面上研究问题，而不深入到某一个具体的量子态，因为量子态依赖于表示。所以可积性可以作为一种hidden symmetry。

我们还没有提到AdS/CFT，这里可以有两个角度：1是SYM的可积性可以对偶到弦论在AdS上可积性，从而对弦论求解。2是弦论提供了另外一个角度来理解可积性。因为我们可以把弦论和SYM看做是一个整体的理论不同的强耦合极限和弱耦合极限。这样SYM的Bethe ansatz 对偶到了弦论的spectral curve。这样的话，除了TBA应该还存在一种对偶的方法，就是Quantum Spectral Curve (QSC)。