今天在单位加班做测试（泥煤的我怎么老加班！！！），测试最近做的东西的耗电情况如何。
这方面比较悲剧的是，为了可以得到不被干扰的数值，每次测试都是把手机的电充满，然后干跑二十分钟。于是算上充电的时间，折腾一次至少半小时没了。
于是就想到，这次回学校，见到不少学弟，其中有一个学霸类型的学弟问了我老板一个问题，关于量子场论中的场的。
大意就是说，薛定谔方程用的是哈密顿算法，而路径积分的作用量用的是拉氏量而非哈密顿量，同时我们又知道拉氏量和哈密顿量并不总能一一对应（有拉氏量必然可以通过变换得到哈密顿量，但对于非保守体系这反过来的过程就不一定能做到了），那这里是否会有问题？
这个问题最后导师给的回答其实和原问题没啥关系，主要集中在什么是正则量子化什么是路径积分量子化这个更一般性的问题上。
于是我就在想了——你看，开场白这么大一串终于引出正式的废话了——场这货到底是什么？
正好我写简书这么久了，还从来没扯过我的专业，所以这２０１４年第一篇简书就扯扯我的专业吧。
首先，我们需要明白一下，现代物理大概是什么样的。
有一个耳熟能详的故事一直在民间流传，那就是现代物理是在老物理大厦上空的两朵乌云上建立起来的。这两朵乌云最终一个导致了相对论，一个引出了量子论。
现代物理的两个核心，就是这两货。
但，乌云之所以是乌云，最关键的要素就是——它够乌。
于是乎，物理发展到了现在，这两朵乌云依然可以说在那里乌青着——相对论和量子论至今还没有彻底揉合在一起。
这么说其实并不能算全OK，这要看你怎么说相对论和量子论了。
比如说吧，我们如果站在最原始的相对论的角度，即所谓的狭义相对论的角度，那么相对论和量子论已经算是融合了的，那就是“相对论性量子力学”和“量子场论”，这两货都是狭义相对论和量子理论的杂交品。
那为什么还说这两朵乌云没有完全融合呢？怪就怪在这“狭义”两字上——既然有狭义，那么当然有广义了。从英文原文的角度来说，狭义相对论是“特殊化相对性理论”，而广义相对论是“一般化相对性原理”，所以光看名字就知道光有狭义相对论和量子理论的融合这不算个事。
问题就来了，这广义相对论很不安分。
广义和狭义的基本区别，在于：狭义相对论说的是时空整体总能和一个我们所熟悉的闵科夫斯基时空对应，而不管观测者怎么运动，而广义相对论则说，哪怕只从时空的某个局部点来看，也是如此。
说得物理一点，就是狭义相对论认为，物理规律在（平直的）时空整体上总是各向同性的，而广义相对论则认为即便在任意时空上，微观上也是如此。
这两个之所以有这么一种看似很蛋疼的区别，就在于狭义相对论还没开始考虑引力，而广义相对论考虑了。
从狭义到广义的思想再进一步，就是所谓的规范场思想了——不但在时空上如此，在内秉空间也是如此。
这太抽了，等下再说。
说场的意义为什么要先说相对论？因为相对论开启了一个物理哲学上全新的纲领——几何纲领。而场纲领是几何纲领的自然延续。
PS：所谓纲领，就和后来量子理论中的各种诠释一样，是你理解物理理论与物理观念的一套概念体系。
在几何纲领之前，力这个概念本身和几何是一点关系都没有的。力就是力，比如电力通过电力线来表示，磁力通过磁力线来表示，它们的传递和作用都看作是一种抽象的存在——通过可以被具象化的力线，我们清楚地“看到”了力的传播和作用。这就是几何纲领之前的力的图景。
从广义相对论开始，一个新的思维被引入了——力可以不是这么抽象的存在，而是某种物理实在的几何表现——比如说，时空作为一个物理实在，它的形变形成了引力——而这形变就是一种几何属性。
因此，几何纲领的主要内涵，就是说，相互作用可以被表述为物理实在的几何属性。比如说，规范场论和广义相对论，都是这么一种思路。
但，即便是几何纲领也分强弱两个版本，强几何纲领认为时空是几何的，而弱几何纲领则认为时空是时空，几何只是正好描述了时空。这里的差距可以自己感受一下。
我们跳跃一下，这里就可以穿插正文之前的废话中所提到的对场的理解了——场是物理实在还是物理描述？如果场是物理实在，那么狄拉克方程和克莱茵方程就给出了这个物理实在的形态；而如果场是物理描述，那么狄拉克方程和克莱茵方程所给出的其实只是真正的物理——粒子——的量子描述——几率波。这两个观点中的物理实在不同，所以许多细节的理解就会变得很不一样。比如在后一个观点上我们才能说二次量子化，在前一个观点中场还是经典产物，哪来的“第二次”量子化？场论只是对经典场的一次直接量子化而已。
然后再闪回到相对论中。
几何纲领进一步发展，就是后来的场纲领。
就如前面所说，广义相对论将狭义相对论的原理从平直时空推广到了任意几何形态的时空，从而也将结论从时空整体变成了在时空局部成立。
按照这个思路再进一步，我们就可以得到规范的思想——这最早就是Weyl在广义相对论上所作的。我们认为一个属性在时空局部上的变化应该依然是满足物理的，于是Weyl将标度变换作为一个规范元素，得到了Weyl不变量和Weyl张量等等。但这个思想在广义相对论上没发展下去，因为实在没看出有什么苗头，但这个想法却在量子场论中得到了发展。
好，我们现在就穿越到两朵乌云的另一朵上了。
什么是量子场论？
量子理论是一个很宏大的框架，而且，由于历史上的原因，量子顾名思义就被理解为是“一份一份”的。
比如，能量是一份一份的，动量是一份一份的，粒子所在位置是一份份的，电荷也是一份份的。这就是最初展现给我们看到的量子——当然，人生若只如初见，这总是美好的，但事实却不是如此。我们在以后会看到其实量子不一定是这种分立的，反而可能是超连续的，比如路径积分。
量子理论的这一框架的主要思想，被称为量子化——但，很可惜，我们其实不知道究竟什么是量子化，我们只是知道怎么去做量子化。
就好比一个古代人手上拿着计算器，不知道其原理，但能用来计算１＋１＝２。
是为“知其然不知其所以然”也。
量子理论的诠释，一如力的纲领，有很多种，历史上最有名的（但未必是最正确的）就是哥本哈根诠释，将意识、观测和量子态塌缩联系在了一起，这让很多宗教人士浮想联翩，到今天依然在往这上面浮想，而不愿尘归尘土归土上帝的归上帝凯撒的归凯撒。
量子论在发展的过程中，有一道坎是绕不过去的，那就是相对论所预言的相对论效应。
为了解决这个问题，我们在传统量子理论的基础上发展出了相对论性量子力学——就是将量子理论结合了狭义相对论而搞出来的（作为对比，广义相对论吸收了量子场论也搞了一个东西，不过是半成品，就是弯曲时空的量子场论，这货我看到有民科把玩过，饶是惊人）。
相对论性量子力学还不是量子场论，虽然他们具有惊人相似的外表（也就是数学）。
大家最熟悉的，就是为了能得到相对论效应情况下的哈密顿量，两个人从不同的角度出发，得到了两个著名的公式——从等式左右平方一下玩玩出发，我们得到了克莱茵方程；从把根号硬开出来折腾出发，我们得到了狄拉克方程——由此可见，狄拉克的数学功底就是牛。
这里，这两个方程，连同最早我们所接触的薛定谔方程（别误会，薛定谔方程是一大类方程的通称，狄拉克方程和克莱茵方程也属于薛定谔方程的一种。这里所说的“最早接触的薛定谔方程”是说历史上最早被推演出来的那个方程），计算中所用到的场算符的物理意义都是相同的，那就是描述粒子的量子几率幅的几率波，换言之本身都没有物理意义，而只有描述物理实在的数学意义。
紧接着，我们发现光有这样的薛定谔方程（注意上面的括号所说的内容）还没有用，我们无法描述粒子被创造或者消失掉的过程，因此，在传统量子力学所熟悉的粒子数表象或者说Fock表象的基础上，我们将其与相对论性量子力学结合，就有了所谓的“二次量子化”，描述粒子的波函数本身可以被产生湮灭算符所作用，也被量子化了。到这里，我们就得到了最终版的粒子量子化理论。
当然，我们知道经典物理中也是有场的，并不只有几率幅这种东西。
经典物理中的场是什么？那就是电磁场——在量子理论发展的早期，我们也只知道电磁场是场。本来说不定会认为有电磁场和光场，但电磁力学统一了两者。当然，引力场也是场，不过这不是相对论的天下么？
既然我们可以研究电子的量子行为，那我们自然会去研究电磁场的量子行为，于是经过一连串的折腾，我们鼓捣出了电动力学的量子形式，也就是对电磁场的量子化。
有趣的事情就这么来了。
我们发现，电磁场的形式真的是太好了，太和谐了，以至于我们不得不去猜测长得非常接近的克莱茵方程中的那家伙是不是也是一个场？
请注意，这是没有什么深刻道理的猜测，仅此而已，只不过日后发现这么想似乎没什么错而已，和实验符合得挺好。
于是乎，直到现在，量子场论才终于和“量子几率幅”这个数学货没了关系，自己具有了独立的物理意义，或者说成了物理上的客观实在，成了本体论的主角。
要注意，既然现在我们说前面克莱茵方程、狄拉克方程中的波函数是和电磁场理论中的电磁场是一样的场，那就是说，这些场都是经典的东西——经典的场。
在我们将场的作用量丢到路径积分的指数位置上以前，或者在我们将经典泊松括号替换为量子泊松括号以前（这两个方法分别就是路径积分量子化和正则量子化），场都是经典的，不是量子的。包括后面的规范场，也是经典的，不是量子的。什么时候变量子了？我们把规范场的作用量丢去路径积分，或者把泊松括号换个意义，好，这回就从经典规范场变成了量子规范场。
可见，和相对论性量子力学截然不同，场论中到这里为止的场和量子一点关系都没有。
于是，后来的量子化，相对论性量子力学中是为了解决粒子的产生湮灭等动态问题，而在场论中则只是简单的场的量子化。于是前者被称为“二次量子化”，后者被称为“场量子化”。
有人会说，为什么场不用考虑“二次量子化”？场被量子化以后怎么不用考虑产生湮灭问题？这是因为，我们发现场的解中有各种解（经典的），而这些解可以组合出各种你所要的场，因此场本身就包含了自身的出现和消失，不需要另行操作了。
从纲领的角度来说，相对论性量子力学肯定是谈不上几何纲领或者场纲领的，在它的世界体系中场纯粹是数学道具，不具有本体性和实在性——当然，我们可以来看AB效应和AC效应，这里其实所谓的势就是场，不过是电磁场，因此在相对论性量子力学中我们必须精分地认为，电磁场的场是场，电子的场是几率波，不是场。
而量子场论，则无疑是继承自几何纲领的——不过在规范场论之前，我们倒不能这么严格地说它所遵从的就是几何纲领，而只能说是几何纲领的发展——场纲领。在这里，场具有了本地地位，而且我们不需要精分地认为何者为场何者非场，一切都是场。
接下来，就是从广义相对论就出现的规范的思想引入量子场论的时刻了。
量子场论说白了还是一个框架，就和之前所说的量子力学一样，只是一个框架。
框架的好处就是青菜萝卜都能往里扔，但坏处就是如果你就是想吃鸡蛋饼，那框架是不会直接给你鸡蛋饼的。
所以，我们想用量子场论来处理电磁问题、核力问题，以及各种别的问题，但我们却发现这组框架太宏大了，以至于我们压根不知道怎么在这个箩筐里找到我们要吃的鸡蛋饼。
而就在这个时候，规范场论出现了。
这货还是一个经典理论，除非被量子化。
规范场论是场论的子类，多出来的内容是一类很有意思的限制，而且这类限制可以被很好地用几何语言描述出来，那就是——内秉空间的规范变换不改变物理。
不改变是一个很有用的概念，术语一点就叫做不变性。
比如，如果时空中每个位置的场都做相同的变换，并且在这个变换下物理性质不发生改变，那我们就能得到物理上相关的守恒定律，比如大家熟悉的能量守恒，对应的就是时间平移不变性；动量守恒，就是空间平移不变性；角动量守恒，就是空间旋转不变性。
而规范不变性，就是规范场论比量子场论多出来的那个东西，则和上一段所说的不变性差别在于——这里只考虑局部。
比如，全局时间平移不变是全局不变性，那么在局部做一个时间平移如果也不变，这就是规范不变性，由此得到的定律就是规范场的基本规律。
在规范场论中，这种规范不变性所作用的，就是各种内秉空间，比如说电磁学的内秉空间就是U(1)群所描述的。如果我们做内秉空间的一个转动，要求全局做相同的转动物理不变，那么就得到了电荷守恒（或者说U(1)群的力荷守恒）；如果要求全局做不同的转动物理不变，也就是规范不变，那我们就得到了电动力学中的电磁场作用量，从而也就得到了电动力学。
好，用通俗一点的话来说。
我们可以想象这么一个时空，其中时空每个点上都有一个微型时空门，通往一个个彼此独立但完全相同的小宇宙。这些小宇宙之间都有联系，而规范不变性则等于是说：一个位置上的小宇宙发生了变化，那么这种变化必然会改变这种联系，而这种联系的改变又会反过来影响其所连接着的小宇宙，从而向外扩散出去。这小宇宙的性质就是电荷，而小宇宙之间的联系就是势场，这种联系的分布性质就是场强。
而用几何的话来说，就是时空作为一个几何体，同时也是更大的几何体“纤维丛”的基底。每个时空点上的“纤维”就是内秉空间，而纤维丛的联络就是势场，纤维丛的曲率就是场强。
或者，我们甚至可以用M理论的观点来看——时空是１１维的，但只有４个维度是展开的，７个维度是卷成一圈的。这卷成一圈的７个维度就可以看作是上面所说的纤维，那么时空的弯曲就可以分解为展开维度的弯曲——引力，和蜷缩维的弯曲——规范场。这种弯曲在足够小的时候，可以得到和纤维丛观点一致的结论，从而让抽象的难以理解的数学名词“纤维丛”被“翻译”为容易直观想象的极小的蜷缩维的几何。
这就是非常几何的观点了。
那么，场纲领和几何纲领到底有什么分别呢？
我们并不能简单地将场理解为某种特定的几何客体，因为场纲领的场事实上还有更丰富的内涵。事实上，场是这么一种物理实在，其代表了同一类对象的各种可能物理状态的集合与分布。因此，场不仅仅是几何的，更多是物理的。也因此，在场纲领中，几何是描述的语言，算是弱几何纲领的思路。但和相对论性量子力学的纲领要求不同，场纲领的场具有独立的实在性，而不是只是附庸。
更进一步，和量子场论中的场不同，现在规范场论中的场都能找到几何对应，至少也是很明确的数学对应。比如电磁场这样的规范势能场，对应的就是纤维丛的联络，而带有规范力荷的粒子的场则是纤维丛对应群的生成元（从规范场论来说，先是引入的群，然后再赋予群一个几何图像纤维），等等等等。
规范场论当然也不是没有问题的。就如规范场论的出现是为了解决量子场论无法给出踏踏实实的物理的问题，规范场论的发展也遇到了一个很糟糕的问题，就是规范场论要求规范场的媒介粒子（比如电磁场的媒介粒子就是光子）是无质量的，或者说其静质量必须为０，而我们知道除了光子，强弱作用力的媒介粒子的静质量都不是０。
为了解决这个问题，就引入了对称性自发破缺和Higgs机制。可见，Higgs机制是规范场论的必然结果——而如果没有Higgs机制，规范场论就和现实一点关系没有。我们去年已经基本算是确定找到了Higgs粒子，所以规范场论这一套基本算是被确认了。
可Higgs机制也只是解决了规范场论乃至量子场论诸多问题中的一个问题，剩下的问题只能说是路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
在对称性自发破缺后，人们进一步发散思维，开始想这么一个问题——对称性，就是群嘛，规范场论的核心也是群嘛，所以是否可能所有的力都其实是同一个群的，然后这个群破缺了，产生了一系列的碎片，这些碎片就是电磁力、若相互作用力和强相互作用力。
这个思想就给出了大统一，也即给出了标准模型——乃至最后包含引力的TOE。
上面基本算是大致科普了一下整个脉络，介绍了一些纲领的基本想法。
下面来扯一点扯淡的东西。
比如说，在上面整个图景中，有一个很重要的问题还没有解决，那就是广义相对论和规范场论目前没法融合。
从数学的角度来说，广义相对论是流形联络的动力学，而规范场论是纤维丛联络的动力学，后者的纤维丛的底流形是前者。这两者基本算是风马牛不相及的。因此规范场论的框架不能作用于广义相对论，而广义相对论的框架也不能作用于规范场论。更细致一点，广义相对论探讨的是外部对称性，而规范场论则是内部对称性。我们自然可以硬做，将外部对称性当内部对称性来做（为什么不是反过来？因为规范场论我们知道如何量子化，广义相对论我们不知道如何量子化），这就是局部彭加莱规范的规范场论。但这货不是什么好东西，６０～７０年代就有人研究过，没什么好的发展。不过近来暗物质兴起，彭加莱规范说不定可以和暗物质有联系这也难讲。
另一条路，就是扩大时空维度然后做紧致化，比如历史上的超引力就是如此。将时空从４维拓展到５维后发现紧致化掉第五维得到的理论自然包含了麦克斯韦的电动力学（存在于被紧致化的蜷缩维中，而紧致化基本可以被视为将外部维度“缩”到纤维中，从而将纤维和底流形、内部对称性和外部对称性联系在了一起），于是大家很开心地将维度拓展为１１维，发现４个广延维容纳了广义相对论，７个蜷缩维容纳了标准模型的规范场论。一切都很美好，除了这样算出来的荷质比不对。
再再另一方面，我们发现一些数学手段是可以将外部对称性和内部对称性结合起来的，比如大名如雷贯耳的超对称。超对称不但可以结合外部对称性和内部对称性，它还可以将费米子和玻色子统一起来，使得从一个被超对称作用一下就变到另一个。更神奇的是，几乎所有现实的量子场论都面临的重整化与发散问题，在超对称作用下是可以得到缓解的（发散分红外和紫外，超对称对紫外发散具有很好的修正）。再加上超对称后的理论会有自旋２的无质量粒子，被人认为是引力子，于是就和弦论以及上面所说的拓展引力理论融合，得到了超弦和超引力，并最终得到了M理论。
只不过，有这么一个问题——我们至今都没证明超对称的正确性。事实上，LHC已经基本证明了N=1的超对称理论是错误的。我们当然可以找比最简单的N=1复杂的N=2或者更高的理论，但在奥卡姆剃刀下我们一边坚持极简主义一边放弃最简的N=1，这要么是物理学家很精分，要么就是上帝很精分。
同样的，弦所预言的大尺度额外维也基本被枪毙了——我们只能在“不那么大”的大尺度下找额外维，也就是提高LHC能级。
几个振奋人心的东西里，超对称很尴尬，大尺度被玩小了，大概也就全息原理还能坚挺，但我们其实也只理论证明了AdS／CFT，距离Grivity／Gauge还很远（最近看到有人发文说证明了某类特殊时空中的G/G全息对偶，这倒是很有意思），而且这货其实现在主要是凝聚态的人用来算东西的（思路就是这里算规范场太难了？行，我们换到对偶的情况下算引力去，一算，嘿，真变容易了！）。
还有一些比这些都更基本的问题，就是其实我们到目前也不知道什么是正则量子化。
我们知道正则量子化就是把玻色子的经典泊松括号换成量子对易子关系，或者把费米子的经典泊松括号换成量子反对易子关系——这么做下来的结果基本总是对的，但问题是我们并不知道我们为何要这么来做。
就这点来说，或许路径积分更好一点，因为它的意义至少比什么是正则量子化要来得明显，但路径积分从数学上来说却是完全的一团糟，我们甚至写不出一个通用的积分体元，而Wick转动也只是为了保证能算下去而做的胡搞，数学家看了吐槽不止。
当然了，经典泊松括号被视为传统几何空间（也就是传统群的群流形）中运动（体系演化）所对应的相空间，一个辛流形（算上时间的话就是切触流形），而有人提出量子化以后的情况其实对应了量子群的群流形上体系演化的相空间。但这个说法本身有点鸡蛋问题循环论证的味道，没多大物理意义。
附带一提，Finsler如果从经典时空的彭加莱群的破缺的角度来看的话，这种破缺给出的群的确和量子群有一定的关联，从而Finsler流形说不定和量子化背后的时空背景有一点点的联系。但这货本身的邪恶程度实在是爆表，更何况真的做量子化以后，时空流形本身的结构已经不是特别重要了。
站在当下的理论物理角度，其实上面这些问题都不是很重要。
不知道什么是正则量子化这一个量子理论的基础并不重要，重要的是你计算出来的东西能和实验对得上——不管你的计算在数学家看来多么充满槽点。
所以，我们可以看到，无论是弦还是圈，现在基本都不谈物理意义。比如圈谈物理谈到Wilson圈就结束了，但Wilson圈能算物理么？反正在我看来这还是数学。
实验跟上来以前，我们也的确只能谈数学，这倒也是没办法的事情。
站在这个角度来说，现代物理其实还是回到了盲人摸象的时代，只不过现在我们不是用手摸，是用笔算。
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