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正交矩阵、EVD、SVD

正交矩阵、EVD、SVD

作者: cherryleechen | 来源:发表于2019-04-29 16:01 被阅读20次

一、正交矩阵

图1.1 正交矩阵

二、EVD

特征值分解(Eigen Value Decomposition, EVD)。
对于对称阵A_{m*m}，设特征值为\lambda_i，对应的单位特征向量为x_i，则有

图2.1 EVD
若非满秩，会导致维度退化，使得向量落入维空间的子空间中。
最后，变换是变换的逆变换。

三、SVD

奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)。
对任意一个m*n的矩阵A，能否找到一组正交基使得其经过A变换后得到的还是一组正交基呢？
答案是能，这也正是SVD的设计精髓所在。
现假设存在A_{m*n}，rank(A)=k。

图3.1 SVD1
图3.2 SVD2

因此，
A=U \Sigma V^T，
AA^T=(U \Sigma V^T)(U \Sigma V^T)^T=U \Sigma V^T V \Sigma^T U^T=U \Sigma^2 U^T，
A^T A=(U \Sigma V^T)^T(U \Sigma V^T)= V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T=V \Sigma^2 V^T。

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