数系的推广，是人类智慧的一个体现

作者: 丁建 | 来源:发表于2023-12-20 23:57 被阅读0次

最近读《什么是数学》，从自然数开始逐渐深入，相当于行走在一条数学之路上，不断欣赏路边的风景，从自然数到整数，再到有理数、无理数，再到复数……

每次的扩充都是因为在原有的系统内运算会出现问题。在自然数的算术中，我们总能进行加法和乘法运算，但“减法”和“除法”则不必然，为了解决2-2的问题，引进了0这个符号，为了解决2-3这个问题引进了-1这个符号，以此类推有了负整数。

正如引进0和负整数冲破了对减法的限制一样，分数的引进则消除了除法的障碍，从而使ax=b定义的、两个整数a和b的比x=b/a（a≠0），在a不是b的因子时也有解。

至此，有了全体有理数的定义，在有理数的范围内，有理运算——加、减、乘、除——可以无限制进行，不会超出这个范围。这样封闭的数的范围称为域。

这种通过引进新的符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规矩，在更大的范围内继续成立，这是数学推广过程的一个特征。

这样的推广，在我们现在看来是如此自然，只要循序渐进学习，我们会觉得理所应当，但从自然数到整数，再到有理数，以及后来的实数和复数，人类跨出的每一步都是艰难的。这些概念的推广也就是最近几个世纪的事情。

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