线性方程定理

作者: 摇摆苏丹 | 来源:发表于2021-01-16 15:30 被阅读0次

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引言

由裴蜀定理可得， $ax+by=gcd(a,b)$ 总有解 $(x,y)$ 。但该方程有多少解，以及这些解如何表示还是有待解决的问题。

描述

设 $a,b \in \mathbb{N}, n=gcd(a,b)$ ，方程 $ax+by=n$ 的一个特解是 $(x_1,y_1)$ ，那么该方程的所有解为：
$(x_1+k\frac{b}{n},y_1-k\frac{a}{n}), k \in \mathbb{Z}$

证明

首先验证 $gcd(a,b)=1$ ，即 $a,b$ 互质时，该定理成立。
数对 $(x_1+kb,y_1-ka)$ 是 $ax+by=1$ 的解。因为 $a(x_1+kb)+b(y_1-ka)=1 \iff ax_1+by_1=1$ 。
数对 $(x_1+kb,y_1-ka)$ 是 $ax+by=1$ 的所有解。任取 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 为方程的两个解，即：
$ax_1+by_1=1, ax_2+by_2=1$
左式两边同乘以 $y_2$ ，右式 $y_1$ ，得：
$ax_1y_2+by_1y_2=y_2, ax_2y_1+by_1y_2=y_1$
两式相减得 $a(x_1y_2-x_2y_1)=y_2-y_1$ 。
左式两边同乘以 $x2$ ，右式 $x1$ ，得：
$ax_1x_2+by_1x_2=x_2, ax_2x_1+bx_1y_2=x_1$
两式相减得 $b(x_2y_1-x_1y_2)=x_2-x_1$ 。
令 $k=x_2y_1-x_1y_2$ ，得：
$x_2=x_1+bk, y_2=y_1-bk$
也就是说，方程的任意两个解都满足上述等式。即给定 $(x_1,y_1)$ ，所有的 $(x_2,y_2)$ 都能使用上述等式表示。这是比数对 $(x_1+kb,y_1-ka)$ 是 $ax+by=1$ 的解更强的证明。
然后验证 $gcd(a,b)>1$ 时该定理成立。
设 $n=gcd(a,b)$ ，显然 $n|a,n|b$ ，那么：
$ax+by=n \iff \frac{a}{n}x+\frac{b}{n}y=1$
若 $(x_1,y_1)$ 是上式的一个特解，那么方程的所有解都可以用下式表示，定理得证。
$(x_1+k\frac{b}{n},y_1-k\frac{a}{n}), k \in \mathbb{Z}$

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