最优化问题是一种具有比较静态含义的重要且复杂的一类特殊均衡分析。

本部分我们研究目标均衡，所谓目标均衡是指给定经济单位，如居民、厂商或者整个经济等的最优状态，而且这些经济单位主动谋求均衡的实现。而非目标均衡是指模型中某些相反的力量——比如市场模型中的供给和需求——恰好处于彼此相等、相互平衡的状态，因而排除了进一步变化的趋势。这种均衡的实现是这些力量非人为平衡的结果，不需要有关参与人有意识地努力以实现特定目标。

系统地阐述一个最优化问题，首先要确定目标函数，其中因变量表示最大化或最小化的对象；而自变量则表示这样一组对象，其大小由所涉及的经济单位出于最优化的考虑而进行选择。因此，我们将这些自变量称作选择变量 。简单地说，最优化的实质就是求出那些能够使目标函数达到极值的选择变量的值的集合 。

一、一阶导数

我们所要考察的极值都是指相对或局部极值，除非另作说明 。因为即便我们想要求出绝对极值，先求出相对极值也是必要的，因为绝对极值必定为相对极值或者端点值中的一个。

给定函数 y =f(x)，若函数在 x = x₀处存在极值，则有：

• f'(x) 不存在
• f'(x₀) = 0
  第一种情况例如出现在角点处，此处函数的导数不存在。但目前的讨论中，我们是假设y=f(x)连续，并且具有连续偏导数，所以实际上排除了角点的存在，即对于平滑的函数，相对极值仅在一阶导数为零处存在。需要注意的是在与平滑函数相关的内容中，f'(x) = 0作为相对极值存在的必要条件，即由f'(x) = 0不能推出相对极值存在，反例如下：

反例

如果 f'(x₀) =0 ，则我们x₀为x的临界值，称f(x₀) 为y或函数 f 的稳定值 。 相应地，把坐标x₀和 f(x₀) 的点称作稳定点.由上图知，x = j 函数f(x)的斜率为零，此时f(j)是一个稳定值，但是当x从x = j的一边变动到另一边时，导数的符号并不发生变化。因此，由一阶导数检验可知，点既不是极大值，也不是极小值

总之，相对极值必定为稳定值，但稳定值或者与相对极值相联系，或者与拐点相联系。因此，要求出给定函数的相对极大值或极小值，具体步骤：

1. 求出f'(x) = 0 的解（即函数稳定值）
2. 运用一阶导数检验法来确定每个稳定值是极大值、极小值还是二者都不是。

示例

二、高阶导数

前面我们讨论了y=f(x)的一阶导数f'(x)，现在引入二阶导数即更高阶导数的概念。这些概念的引入有助于我们提出确定相对极值的其他标准。

二阶

几乎我们要处理的所有的具体函数都有高至我们所期望的任何阶的连续导数，即它们都连续可微任意次。无论何时使用一般函数，如 f(x)，我们总是假设它有可达到我们所需要的阶数的导数。

二阶

比如应用在描述不同的风险态度者

应用

以a为例，U'(x) > 0，即收入或者回报的正的边际效用，U''(x) < 0，即递减的边际效用。如果其参加游戏，获得的效用为B，反之获得效用为A。可见其不会参加游戏，即，严格凹效用函数体现的是风险规避行为 。

关于相对极值的二阶导数检验有：

检验

上述检验比一阶导数检验好用，因为它不要求我们检验x₀左右两侧的符号。但其也有一个缺陷，即在f''(x₀)=0时无法得出确切的结论。因为在f''(x₀)=0时，稳定值f(x₀)可能是极大值、极小值、甚至是拐点。此时就需要借助一阶导数检验再做判断。

即，检验步骤：

1. 二阶导数检验，结束
2. 若f''(x₀)=0，使用一阶导数检验

必要和充分

上图中比如y=x³在x=0情况可以说明一阶条件是必要条件，y=x⁴在x=0情况可以说明二阶条件是充分条件。

总结

综合使用一阶导数和二阶导数知识，例子如实现利润最大化：

1
2
3 4
5

N阶导数检验

N阶导数