如果一个函数的函数值是常数，那么自变量之间就会存在隐含关系，即自变量不能任意取值，它们的取值必须保证函数值为固定的常数。在经济学中，隐函数最重要的作用就是分析经济学模型中各变量之间内在的替代作用。

1. 隐函数定理

隐函数定理

由上图，站在二元角度，可以看出隐函数定理关心的是：给定一个隐函数关系f(x,y)=c，在哪些点(x₀
,y₀)附件y可以表示成x的函数y=y(x)。在经济学中常见隐函数应用如u(x,y)=c，即一个效用函数的无差异曲线。

那么知道y是x的函数有什么用呢？很有用的，如果函数关系成立，则可以把u(x,y)=c改写为u(x,y(x))=c。此时两边对x求导，可以得到：
u_x(x,y)+u_y(x,y)y'(x)=0 ，即
y'(x) = -u_x(x,y) / u_y(x,y)

这个式子在经济学里表示无差异曲线上商品之间的边际替代率：当商品1 的消费增加一个单位的时候，为了保持使效用仍然保持在c的水平，商品2 的消费需要相应减少的量，即对1 消费变化对应的补偿。

需要注意的是，为了求得边际替代率，我们并不需要把函数关系y(x)从方程里解出来，只需要知道函数u(x,y)的偏导数即可。

关于定理背后的思想
存在函数关系y=y(x)，这意味着如果y变化，那么x也一定要相应地变化（而不是反过来）。换成经济用语，即如果商品2的消费量y发生边际变化，则商品1的消费量x必须要做相应地补偿才能使得效用不变。

若商品2的边际效用u_y(x₀,y₀)=0，则商品2消费的边际变化不会对总效用带来影响，从而商品1的消费x不需要改变去补偿。

2. 隐函数法则

基于全微分的思想，利用隐函数法则，同样可以不解出y而求得所需要的导数

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隐函数法则基于

• 若两个表达式恒等，则它们各自的全微分必定相等。
• 对包含变量y,x₁,...,x_m的表达式微分，会得到一个含有微分dy,dx₁,...,dx_m的表达式
• y的微分dy，可以被代换，因此不能接触y并无关系

隐函数和生产函数

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3. 推广到联立方程组

联立方程组 一般形式

使用隐函数法则可得

简化

利用矩阵简化表示

简化 注意

参考资料：

1. 微观经济理论：基本原理与拓展 第11版
2. 数理经济学的基本方法 第4版，蒋中一
3. 应该怎么理解隐函数定理？