尽管导数dy/dx被定义为当v—>0时，q=g(v)的差商的极限，但是每次求导数时，没有必要都进行取极限的操作，因为存在着各种求导法则可以直接求导所需要的导数。
- 求导法则
求导法则1
求导法则2
求导法则3
我们可以先从“微分”入手，然后再说“导数”。“微分”是理解微积分的关键，其内核是** “以直代曲，线性逼近”。**
- 微分
对于一元微分，y=f(x)，y的微分是dy=f'(x)dx，一元函数的微分就是切线。
一元微分
一元微分
二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。
二元微分
微分和求导
微分和求导
微分和点弹性
微分和点弹性
- 偏微分
将上图丢到三维空间中，空间曲线的切线即偏微分
三维
则平面曲线变成了空间曲线，该空间曲线是空间平面y=0和空间平面f(x,y)的交线。
交线
称该切线为f(x,y)对于x的偏微分，因为此时y=0，y是固定不变的。同样的只要所有y=C平面和f(x,y)的交线对应的切线都是f(x,y)对于x的偏微分。反之，f(x,y)平面和x=C平面得到的交线对应的切线都是f(x,y)关于y的偏微分。
综上，偏微分就是：
- 固定y，变换x得到的是f(x,y)关于x的偏微分
- 固定x，变换y得到的是f(x,y)关于y的偏微分
- 偏导数
偏导数即偏微分的斜率，即图中的α
偏导数
偏导数
-
全微分
所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）
360.gif
如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）
交线.gif
总结，全微分就是：
- 360°微分都存在
- 并且这些微分要共面，得到的就是全微分
全微分和储蓄函数
储蓄函数
dS 作为两种不同原因所引致的变化之和，称作储蓄函数的全微分。求此全微分的过程，称作全微分法 。 (8.8) 等号右边的两个加项分别被称为储蓄函数的偏微分。
-
微分法则
微分法则
微分法则
-
全导数
全导数是多元函数中的一个概念。但是全导数不是切线斜率。为了说清楚，我们需要先从导数，然后偏导数、然后方向导数、最后说全导数。
-
导数
在一元函数的情况下，导数就是函数的变化率
一元
在二元函数的情况下，每根曲线都可能可以做一根切线，每一根切线都和一个全导数“相关”。
二元
-
参数方程
为了说清楚，需要借助数学手段—参数方程
二元
上图中的曲线是一个关于x,y的函数f(x,y)，自然其与xy平面上的曲线具有一一对应的关系。因此我们现在只需要描述xy平面上的曲线就可以实现描述曲面上曲线的目的。此时就需要参数方程来帮忙了。
例如曲面上的曲线为f(x,y)=x2+y2，注意此时的x,y都可以自由改变，因为x,y可以自由取值。
但此时增加参数方程：
参数方程
我们把这根参数方程决定的直线丢到三维空间里。根据上面说的，这根直线可以决定一根曲面上的曲线。
i参数方程
这根曲面上的曲线即
曲面上的曲线
参数方程如同“如来神掌”将三维图像一下子拍扁：
-
xyz空间到zt平面
参数方程
我们开始说偏导数、方向导数和全导数。
- 偏导数、方向导数和全导数
3.1. 偏导数
由xy平面中平行于x轴或者y轴的直线决定的曲线，偏导数即这根曲线的切线的斜率。
偏导数
3.2 方向导数
xy平面不光有平行于x轴或y轴的直线，还有各种射线，由这些射线决定的曲线，方向导数即这些曲线的左导数、右导数。
方向导数
3.3 全导数
xy平面除了直线、射线外，还有很多不同的曲线，由这些曲线决定的曲线。
这些曲线总可以写成参数方程的形式：
全导数
这些曲线也能决定曲面上的曲线，比如：
全导数
此时的曲面的参数方程为：
参数方程
综上，有：
过点A可以做无数条曲线
所有这些曲线都可以写成参数方程的形式
偏导数、方向导数、全导数是由不同的曲线所决定的
偏导数、方向导数其实是特殊的全导数
需要注意的是，偏导数、方向导数都是切线的斜率，但是全导数不是曲线的斜率。因为如果将全导“拍扁”，是发生变形的，因为其全导对应的曲面曲线不在一个平面中。所以，用硬生生“拍扁”后的平面来测度是不对的。
而偏导数、方向导数的曲线本身就位于一个曲面上，用参数方程把它们“拍扁”后不会发生变形。
-
求全导数
全导数
全导数
全导数
全导数和全微分法的实质，是考虑到直接和间接的所有渠道;通过这些渠道，基本变量变化的影响能够传递到所研究的特定因变量中 。
全导数和生产函数
生产函数
参考资料：
- 北大经院经济学课件
- 《数理经济学的基本方法》第四版，蒋中一
- 求解全微分的意义？最好感性一点的认识
- 多元函数中可微与可导的直观区别是什么？
- ncue课件
- 什么是全导数？
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