平稳时间序列的大样本OLS回归

有了《独立同分布的大样本OLS回归》的铺垫，现在进一步将OLS推广到平稳时间序列的情况。

思路还是一样：

• 进行点估计，再研究估计量的性质；
• 构造统计量，在大样本下推导其渐近分布，并进行假设检验。

这里的各种计算与上一篇非常像，需要注意的是大数定律和中心极限定理在这里的使用条件（遍历平稳、鞅差分过程等）与上一篇不同，因此也需要不同的假设。

1 记号与假设

记，。

• 假设1 遍历平稳性（Ergodic stationary）：，是可观测的遍历平稳过程；
• 假设2 线性性：，可写作矩阵形式；
• 假设3 模型正确设定：且；
• 假设4 非奇异性：矩阵是对称、有限、非奇异的；
• 假设5 鞅差分：相对于
  生成的-域，为一鞅差分序列，且矩阵是对称、有限、正定的；
• 假设6 条件同方差：。

假设1包含了上一篇中的独立同分布过程。由于不再是在独立同分布假设下，因此严格外生性不一定可以满足。假设3允许包含前定变量（predetermined variables）如滞后的因变量等，另外，由于有假设3的保证，。

2 一些定理

定理1 遍历平稳随机样本的弱大数定律：假设为遍历平稳过程，且，定义，则当时，有。

定理2 遍历平稳鞅差分序列的中心极限定理：若为遍历平稳鞅差分过程，为有限、对称、正定的矩阵。定义，则当时，有

3 的性质

这里的全部内容都与上一篇类似。

和之前一样，，与之差为。

使用遍历平稳过程的弱大数定律，有，且。

同样有（利用了假设3）。由此可得。说明在这里，依旧是一致的。

4 的渐近分布及假设检验

这里的全部内容都与上一篇类似。

4.1 的渐近分布

与上一篇类似，可以推出

它的渐近分布的方差又称为渐近方差，记为。

若满足假设6，即在条件同方差下，，渐近分布就变成了

4.2 假设检验

检验零假设，其中为矩阵。

4.2.1 条件异方差

若零假设成立，则，而左边的渐近分布已经知道了，因此，可构造

式中的和我们还需要进行估计。与上一篇类似，我们有，对于，我们同样可其用样本形式估计：

其中。

可以证得，。

最后，用和进行替换，得：

当时，开根号就是标准正态分布，因此可直接构造统计量：

4.2.2 条件同方差

若满足假设6，则，代入上一节，有

同样用代替，它满足。最后可得

当时，可得