正交矩阵（Orthogonal Matrix)

3D数学基础 图形和游戏开发（第二版）笔记

正式线性代数规则

定义: 等价于

旋转矩阵和反射矩阵都是正交的。如果我们已经知道矩阵是正交的，则基本上可以避免计算其逆转矩阵（直接使用转置矩阵即可），这是一个相对昂贵的计算。

几何解释

要使矩阵正交，必须满足以下条件：

• 矩阵的每一行必须是单位矢量。
• 矩阵的行必须相互垂直。

在线性代数中，如果一组基矢量相互垂直，则将它们描述为正交(Orthogonal)。它们不需要具有单位长度。如果它们确实具有单位长度，则它们是标准正交基(Orthogormal Basic)。因此,正交矩阵(Orthogonal Matrix)的行和列是标准正交基矢量(Orthonormal Basic Vector).然而，从一组正交基矢量构造矩阵不一定导致正交矩阵(除非基矢量也是标准正交基)。

矩阵的正交化

有时我们遇到的矩阵会略微偏离正交性。这可能是因为从外部源获得了不良数据，或者可能累积了浮点误差，后者又称为矩阵蠕变(Matrix Creep)。对于用于凹凸映射（Bump Mapping)的基矢量，通常会将基矢量调整为正交，即使纹理映射渐变不是很垂直。在这些情况下，我们都希望对矩阵进行正交化（Orthogonalize),从而得到一个矩阵，该矩阵具有相互垂直的单位矢量轴，并且(希望)尽可能接近原始矩阵.

用于构造一组正交基矢量(它是正交矩阵的行)的标准算法是Gram-Schmidt正交化.其基本思想是按顺序遍历基矢量。对于每个基矢量，我们将减去与基向量平行的矢量，这必然会产生垂直矢量。

让代表3×3矩阵的行（记住，你也可以将它们视为坐标空间的轴,轴,轴),然后可以根据以下算法计算出一组正交的行矢量:

在应用这些步骤之后，矢量将保证相互垂直，因此将形成正交基。但是，它们可能不一定是单位矢量。我们需要一个标准正交基来形成一个正交矩阵，因此还必须对矢量进行归一化。
还有一个再三维中有效（但不适用于更高维度）的技巧是使用叉积计算第三个基矢量，具体如下：

Gram-Schmidt算法是有偏差的，这取决于列出的基矢量的顺序。例如，永远不会改变，而可能会改变最多。改算法有一种不偏向任何特定轴的变体，那就是放弃在一次遍历中完全正交化整个矩阵的尝试。我们可以选择一个因子,而不是减去所有的投影，我们只减去它的。我们还将投影减去原始轴,而不是被调整的那个。通过这种方式，执行操作的顺序就变得无关紧要了，这样就可以产生没有维度偏差的结果。该算法可总结如下：

该算法的一次迭代将产生一组比原始矢量稍微“更正交”一些的基矢量，但可能不会完全正交。通过多次重复该过程，我们最终可以在正交基矢量上收敛。为选择一个适当小的值(如0.25)并迭代足够多次（如10次）会让我们相当接近正交，然后可以使用标准的Gram-Schmidt算法来保证获得完全正交基。